만성지구 고2수학과외

절댓값 극한에서 좌우를 나누는 기준

마지막 풀이 기록에서 학생은 |x-2|을 양쪽 모두 x-2로 바꾸었다. 하지만 x가 2보다 왼쪽에 있을 때는 x-2<0이므로 절댓값의 식이 달라진다. 이 오류는 만성지구과외 수업에서 자주 확인하는 대표적인 좌우극한 실수다.

한 식에서 시작하는 점검

다음 극한을 계산해 보자.

문제 1　\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{|x-2|}{x-2}\)

x<2이면 |x-2|=-(x-2)이므로

\(\displaystyle \lim_{x\to2^-}\frac{|x-2|}{x-2}=-1\)

x>2이면 |x-2|=x-2이므로

\(\displaystyle \lim_{x\to2^+}\frac{|x-2|}{x-2}=1\)

좌극한과 우극한이 다르므로 양의 유한 극한은 존재하지 않는다.

절댓값 안의 근을 기준으로 구간 나누기

절댓값 안의 식이 0이 되는 점을 먼저 찾는다. 예를 들어

문제 2　\(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{|x-1|+|x-3|}{x-1}\)

관심 있는 점은 \(x=1\)이다. \(x\to1^-\)에서는 \(x-1<0\), \(x-3<0\)이므로

\[ |x-1|+|x-3|=-(x-1)-(x-3)=-2x+4. \]

따라서 분자는 \(2\)에 가까워지고 분모는 음수인 0에 가까워지므로 좌극한은 \(-\infty\)이다.

\(x\to1^+\)에서는 \(x-1>0\), \(x-3<0\)이므로

\[ |x-1|+|x-3|=(x-1)-(x-3)=2. \]

분모가 양수인 0에 가까워지므로 우극한은 \(+\infty\)이다. 따라서 양쪽 극한은 존재하지 않는다.

교정 전후의 풀이 비교

잘못된 처리

학생 풀이: \(|x-2|=x-2\)이므로 \(\displaystyle \frac{|x-2|}{x-2}=1\).

이 식은 \(x>2\)인 오른쪽 구간에서만 옳다. \(x<2\)에서는 부호가 반대이므로 전체 극한에 그대로 적용할 수 없다.

정확한 처리

\[ |x-2|= \begin{cases} -(x-2),&x<2\\ x-2,&x\ge 2 \end{cases} \]

따라서 좌극한은 \(-1\), 우극한은 \(1\)이며, \(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{|x-2|}{x-2}\)는 존재하지 않는다.

변형 문제로 최종 확인

문제 3　\(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{|2x+1|-|x+1|}{x}\)의 존재 여부를 판단하자.

\(x\)가 0에 충분히 가까우면 \(2x+1>0\), \(x+1>0\)이다. 따라서 두 절댓값을 모두 벗길 수 있다.

\[ \frac{|2x+1|-|x+1|}{x} =\frac{(2x+1)-(x+1)}{x} =\frac{x}{x}=1. \]

그러므로 좌극한과 우극한이 모두 1이고, 전체 극한은

\[ \boxed{1} \]

절댓값 안의 근이 여러 개라면 모든 구간을 무조건 계산하는 것이 아니라, 극한을 취하는 점 주변에서 부호가 바뀌는지 먼저 확인하면 된다. 전주 지역에서 만성지구고3수학과외를 진행할 때도 이 기준으로 좌우극한을 구분하면 불필요한 계산과 부호 오류를 줄일 수 있다.