유성구 중2수학과외

유성구 중2수학과외에서 확인한 부등식의 경계 판단

유성구과외 수업에서 학생은 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 계산은 빠르게 처리했지만, 분모를 없애는 과정에서 부등호 방향을 결정하는 순간 자주 멈췄다. 관평도서관 인근 생활권과 대전관평중학교가 포함된 지역에서 만난 학생의 풀이에는 계산 실수보다 먼저 확인해야 할 판단이 드러났다.

첫 줄에서 이미 달라진 풀이

학생이 푼 문제는 다음과 같았다.

−2(x−3) > 6

학생은 괄호를 풀어 −2x+6>6까지 적었다. 양변에서 6을 빼는 줄에는 양쪽에 같은 표시를 하며 −2x>0을 만들었다. 여기까지는 정확했다. 그런데 다음 줄에서 양변을 −2로 나누면서 부등호를 그대로 두어 x>0이라고 썼다. 수직선에는 0을 빈 점으로 표시하고 오른쪽을 색칠하려 했다.

결과인 x>0이 틀렸다는 말보다 먼저 살펴볼 부분은, 학생이 음수로 나누는 연산을 양수로 나누는 경우와 같은 것으로 선택한 것이었다. 부등호 방향은 답을 보고 고치는 것이 아니라, 양변에 적용한 수의 부호를 확인하는 순간 결정해야 한다.

양변에 한 연산을 나란히 적기

이미 맞았던 괄호 풀기와 양변에서 6을 빼는 과정은 그대로 두었다. 대신 나누기 직전에 학생의 식 아래에 다음처럼 연산을 양쪽에 나란히 기록하게 했다.

−2x > 0
양변을 −2로 나눔
(−2x)÷(−2) < 0÷(−2)

음수로 양변을 나누면 부등호 방향이 바뀐다는 사실을 한 줄의 연산으로 확인한 것이다. 따라서 해는 x<0이다. 학생은 수직선에서 0을 빈 점으로 찍고 왼쪽을 표시했다. 경계값 0은 원래 부등식에 넣으면 −2(0−3)=6이 되어 6>6이 아니므로 포함되지 않는다고 검산했다.

이후 분모가 있는 식을 만났다.

(x−1)/3 ≤ 2

학생은 양변에 3을 곱할 때 (x−1)≤6이라고 적고, 3이 양수이므로 부등호가 유지된다는 말을 덧붙였다. 여기서도 모든 항에 같은 수를 적용했는지 확인하기 위해 왼쪽 전체와 오른쪽 2에 각각 ×3 표시를 했다. 반대로 분모가 −3이라면 음수로 곱하므로 방향을 바꿔야 한다는 조건도 식 옆에 따로 표시했다.

표현이 바뀐 문제에서 경계부터 찾기

같은 개념을 숫자만 바꿔 반복하지 않고, 문장과 수직선이 섞인 문제로 바꾸었다.

어떤 수 x에서 4를 뺀 값의 절댓값이 아니라, 일차부등식의 해가 수직선에서 2보다 왼쪽에 놓인다. 이를 식으로 나타내고, 경계가 포함되는지 판단하시오.

학생은 문제의 문장을 곧바로 계산하지 않고 “2보다 왼쪽”이라는 표현에 밑줄을 그어 x<2라고 적었다. 이번에는 양변에 −5를 더한 형태인 x−5<−3을 제시하자, 양변에 5를 더해 x<2가 되는 과정을 썼다. 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 것은 방향을 바꾸지 않지만, 음수로 곱하거나 나눌 때는 방향을 바꾼다는 조건을 식 옆에 구분해 표시했다.

또 다른 문제에서는 해의 범위가 x≥−1로 주어지고, 원래 부등식 후보가 −3x≤3으로 제시되었다. 학생은 −3으로 나눌 때 방향을 바꾸어 x≥−1이 된다고 설명했다. 경계 −1을 대입하면 양변이 모두 3이고, 범위 안의 0을 대입하면 0≤3, 범위 밖의 −2를 대입하면 6≤3이 거짓임을 확인했다.

도움 없이 다시 세운 첫 판단

수업 끝에 힌트 없이 다음 문제를 건넸다.

−4(2−x) ≥ 12의 해를 구하고, 경계값의 포함 여부를 설명하시오.

학생은 먼저 괄호 안의 식에 −4를 곱해 −8+4x≥12를 만들었다. 양변에 8을 더해 4x≥20으로 정리한 뒤, “4는 양수이므로 나눌 때 방향을 유지한다”고 말하며 x≥5를 얻었다. 수직선에는 5를 찬 점으로 표시했다.

학생은 5를 원식에 넣어 −4(2−5)=12, 즉 12≥12이므로 경계가 포함된다고 설명했다. 이어 범위 안의 6은 16≥12로 참이고, 범위 밖의 4는 8≥12로 거짓이라고 검산했다. 이번에는 부호와 조건을 먼저 확인하고, 양변에 한 연산을 빠짐없이 적용한 뒤 경계 안팎을 확인하는 순서를 스스로 재현했다. 이런 식으로 유성구중2수학과외에서는 답만 고치는 대신 부등호 방향이 바뀌는 최초의 판단을 풀이 안에서 확인한다.