유성구 고3수학과외
끝점에서 연속 그래프를 다시 읽어 낸 풀이
관평도서관 인근 생활권에서 진행한 고3 수학과외 사례에서 학생이 함수의 연속을 묻는 문항을 풀다가 멈춘 장면이 있었다. 처음부터 해의 조건을 계산하기보다 정의역의 끝점, 식이 바뀌는 지점, 부호가 달라지는 곳을 표시하고 그래프의 연결 관계를 먼저 확인하려는 접근이었다. 대전과외 수업에서도 이처럼 결론을 바꾸는 경계를 먼저 찾는 습관을 중요한 풀이 기준으로 삼았다.
함수 \(f(x)\)가 \(x=1\)에서 연속이 되도록 \(a\)를 정하라.
\(f(x)=\begin{cases}x+2 & (x<1)\\ ax+1 & (x\ge 1)\end{cases}\)
학생은 왼쪽 그래프가 \(x=1\)에서 \(3\)에 도달한다는 점을 확인한 뒤, 오른쪽 식도 같은 직선처럼 이어진다고 보았다. 그래서 일반적인 구간에서 식을 비교하듯 \(x+2=ax+1\)을 정리하려 했고, 경계점에서 실제 함수값을 확인하지 않은 채 풀이를 진행했다. 오답을 거꾸로 추적해 보니 최초의 어긋남은 계산이 아니라 그래프 관계에 있었다. \(x=1\)에서 오른쪽 식이 실제 함수값을 결정한다는 사실을 일반 구간의 규칙으로 처리한 것이다.
한 점의 좌우와 함수값을 분리하다
학생에게 식 전체를 다시 설명하는 대신, \(x=1\) 주변을 세 칸으로 나누어 적게 했다.
- 왼쪽에서 다가가는 값: \(\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=1+2=3\)
- 오른쪽에서 다가가는 값: \(\displaystyle \lim_{x\to1^+}f(x)=a+1\)
- 경계에서의 함수값: \(f(1)=a+1\)
연속이려면 좌극한과 우극한이 같고, 그 값이 함수값과도 같아야 한다. 따라서 \(3=a+1\), \(a=2\)가 된다. 여기서 바꾼 행동은 하나였다. 일반구간의 그래프를 한꺼번에 연결한다고 판단하지 않고, 식이 바뀌는 경계에서 함수값을 직접 대입하는 것이다. \(a=2\)를 구한 뒤에는 원래 식에 \(x=1\)을 다시 넣어 오른쪽 점의 높이가 \(3\)인지 확인했다.
이 확인으로 그래프의 왼쪽 끝점과 오른쪽에서 정의된 점이 같은 높이에 놓인다는 관계도 복원됐다. 반대로 \(a\ne2\)라면 왼쪽에서 다가가는 높이는 여전히 \(3\)이지만 경계의 점은 \(a+1\)이므로, 그래프가 그 점에서 끊어진다. 학생은 해설의 결론을 외우는 대신 어떤 조건이 끊김을 만들었는지 역으로 설명할 수 있었다.
조건의 위치를 바꾼 독립 적용
다음에는 숫자만 바꾸지 않고 정의역의 경계에 해당하는 식의 위치를 바꾼 문제를 제시했다.
\(g(x)=\begin{cases}bx-1 & (x\le2)\\ 3x+b & (x>2)\end{cases}\)가 \(x=2\)에서 연속일 때 \(b\)를 구하라.
학생은 먼저 \(x=2\)가 어느 식에 포함되는지 표시했다. 왼쪽에서의 값과 경계의 함수값은 \(2b-1\), 오른쪽 극한은 \(6+b\)이므로 연속 조건은 \(2b-1=6+b\)이다. 따라서 \(b=7\)을 얻었다. 직전 문제의 수치나 그래프 모양을 가져오지 않고, 새롭게 배치된 부등호를 근거로 함수값을 정한 점이 달라졌다.
선택지를 지우기 전 다시 대입한 순간
마지막으로 해설 없이 다음 조건을 확인하게 했다. 어떤 보기에서 \(b=7\)을 선택했을 때, 좌극한과 우극한만 비교하지 말고 \(g(2)\)까지 원식에 대입하라는 요구였다. 학생은 \(g(2)=2\cdot7-1=13\), 오른쪽 극한 \(6+7=13\)을 차례로 적었다. 이어 좌극한도 \(13\)임을 확인한 뒤에야 보기를 남겼다.
이때 학생의 판단은 “답이 맞으므로 끝”이 아니었다. 먼저 경계가 어느 식에 포함되는지 찾고, 좌우의 극한과 경계의 함수값을 분리한 다음, 후보를 원래 식에 재대입했다. 유성구의 생활권에서 진행한 대전고3수학과외에서도 이 순서가 유지되는지 확인한 결과, 그래프가 직접 제시된 문제와 식만 제시된 문제 모두에서 같은 검증 행동이 자연스럽게 나타났다.