유성구 중1수학과외

문자식에서 계수와 문자 부분을 가르는 순간

유성구과외 수업에서 다룬 핵심은 문자를 포함한 식에서 계수와 문자 부분을 정확히 구분하는 일이었다. 유성구중1수학과외를 진행하며 엑스포아파트와 관평도서관이 있는 생활권의 중1 학생이 다음 문제를 풀었다.

식 －3x＋5－2x에서 x의 계수와 문자 부분을 각각 쓰고, 같은 종류의 항끼리 정리하여라.

학생은 식 위에 항을 나누는 선을 그어 ‘－3x’, ‘＋5’, ‘－2x’를 표시했다. 이어서 －3x와 －2x를 묶어 ‘－5x’, 상수항 5를 뒤에 적어 －5x＋5라고 정리했다. 계산 결과는 맞았지만, 질문에 답하는 과정에서는 －3x의 계수를 ‘3’, 문자 부분을 ‘－x’라고 적고, －2x의 계수도 ‘2’, 문자 부분을 ‘－x’라고 썼다.

부호가 항과 계수에 어떻게 붙는가

풀이가 어긋난 최초의 판단은 숫자와 부호를 따로 떼어 읽은 것이었다. 학생은 식의 항을 나누는 데에는 성공했지만, 각 항의 앞에 붙은 음의 부호를 계수에서 제외했다. 따라서 ‘－3x’에서 3만 숫자 부분으로 보고, ‘－2x’에서도 2만 계수라고 판단했다.

교정할 때는 이미 해낸 항 나누기를 그대로 유지했다. 다만 각 항을 하나씩 소리 내어 읽으며, －3x는 ‘－3과 x의 곱’이라고 다시 적었다. 이때 계수는 문자를 곱하고 있는 수이므로 －3, 문자 부분은 x가 된다. ‘＋5’에는 문자가 없으므로 문자 부분이 없는 상수항이며, ‘－2x’의 계수는 －2, 문자 부분은 x라고 고쳤다.

• －3x: 계수 －3, 문자 부분 x
• ＋5: 문자 없는 상수항
• －2x: 계수 －2, 문자 부분 x

그 뒤 학생은 두 항의 종류도 확인했다. －3x와 －2x는 문자 부분이 모두 x이므로 같은 종류의 항이고, 5는 문자 항과 합칠 수 없다고 표시했다. 계수끼리 계산하여 (－3)＋(－2)＝－5가 되므로 식은 －5x＋5가 되었다. 계수를 숫자의 크기만으로 읽지 않고 부호까지 포함해 보자, 정리 결과와 질문의 답이 서로 연결되었다.

문제의 모양이 바뀌어도 같은 기준으로 읽기

다음 문제에서는 계산식 대신 문장으로 조건을 제시했다.

어떤 수 x의 세 배에 음의 부호를 붙인 수와 x의 두 배에 음의 부호를 붙인 수, 그리고 5를 더한 식을 만드시오. 만든 식에서 계수와 문자 부분을 설명하시오.

학생은 문장을 바로 계산하려 하지 않고, ‘세 배에 음의 부호’는 －3x, ‘두 배에 음의 부호’는 －2x라고 바꾸어 적었다. 두 표현 사이에 ‘더한’이 있으므로 －3x＋(－2x)＋5로 나타냈다. 괄호 안의 음수도 항의 부호로 읽어 －3x－2x＋5와 같은 식임을 확인했다.

이번에는 식의 순서도 바꾸어 5－2x－3x로 제시했다. 학생은 앞에 있는 5를 보고 모든 항의 문자 부분이 같다고 판단하지 않았다. 먼저 5는 문자가 없는 항, －2x와 －3x는 문자 부분이 x인 항이라고 표에 나누어 적었다. 순서가 달라도 항의 종류는 바뀌지 않으며, 두 문자 항만 묶어 －5x＋5로 정리된다는 점을 설명했다.

항	계수	문자 부분
－2x	－2	x
－3x	－3	x
5	없음	없음

힌트 없이 다시 세운 풀이

독립 확인에서는 새로운 식 4－x＋6x를 제시하고 아무 표시도 하지 않은 채 풀게 했다. 학생은 먼저 항을 4, －x, 6x로 나눈 뒤, －x를 계수가 －1인 항으로 설명했다. 문자 부분이 x인 －x와 6x만 같은 종류이므로 계수를 합쳐 (－1)＋6＝5, 따라서 정리한 식은 5x＋4라고 썼다.

학생은 답을 적은 뒤 간단한 값 x＝2를 스스로 대입했다. 원래 식은 4－2＋12＝14이고, 정리한 식은 5×2＋4＝14라고 비교했다. 이어 “－x에서 문자가 x라고 해서 계수를 1로 쓰면 부호를 잃는다. 앞에 보이지 않는 1이 있지만, 실제 계수는 －1이다. 문자가 없는 4는 x와 같은 종류가 아니므로 합치지 않았다”라고 풀이 이유를 설명했다.

이 검증은 단순히 정답을 맞힌 장면이 아니었다. 학생은 식의 모양이 문장이나 항의 순서로 바뀌어도 항을 먼저 나누고, 부호를 포함한 계수와 문자 부분을 확인한 뒤, 같은 종류의 항만 정리하는 순서를 도움 없이 재현했다.