유성구 고2수학과외







“적어도 한 번”을 보고 바로 1번을 고른 이유
학생의 풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었다.
“성공이 적어도 한 번이므로 정확히 한 번 성공할 확률을 구한다.”
이 해석은 ‘적어도 한 번’과 ‘정확히 한 번’을 혼동한 것이다. 유성구과외 수업에서는 먼저 횟수의 범위를 말로 바꾸어 확인한다.
표현을 횟수로 번역하기
| 표현 | 의미 |
|---|---|
| 적어도 1번 | 1번 이상 |
| 정확히 1번 | 1번만 |
| 한 번도 없음 | 0번 |
따라서 ‘적어도 한 번’의 여사건은 ‘정확히 한 번’이 아니라 ‘한 번도 없음’이다.
독립시행에서 식을 세우는 방법
성공 확률이 0.3인 시행을 서로 독립적으로 5회 반복한다고 하자. 성공 횟수를 X라 하면
P(X≥1)=1-P(X=0)
한 번도 성공하지 않을 확률은 매 시행에서 실패할 확률 0.7을 다섯 번 곱한 값이므로
P(X≥1)=1-(0.7)5=1-0.16807=0.83193
즉, 적어도 한 번 성공할 확률은 0.83193이다.
처음 풀이와 교정된 풀이 비교
처음 풀이에서 계산한 정확히 한 번 성공할 확률은
P(X=1)=&binom;5;1;(0.3)(0.7)4=0.36015
이 값은 질문의 답이 아니라 ‘정확히 한 번’이라는 다른 사건의 확률이다. 횟수 조건이 바뀌었기 때문에 계산 자체가 맞더라도 결론은 틀린다.
최종 검증: 후보를 줄여 읽기
문제를 다시 읽을 때 ‘적어도’를 다음처럼 바꾸면 선택지가 빠르게 정리된다.
- 적어도 한 번 = 1번, 2번, 3번, 4번, 5번
- 그 여사건 = 0번
따라서 여러 독립시행에서는 각 성공 횟수를 모두 더하기보다, 0회 확률을 구해 1에서 빼는 방식이 효율적이다. 대전과학고등학교나 유성고등학교 내신 문제에서도 ‘적어도’가 보이면 먼저 이 범위 변환이 정확한지 확인해야 한다. 필요하다면 유성구고3수학과외 학습에서도 같은 검증 순서를 반복해 적용할 수 있다.