선화동 중3수학과외

선화동 생활권에서 살펴본 ‘곱이 0인 성질’의 두 해 판단

선화동과외 수업에서 중3 학생의 풀이를 확인할 때는 답만 맞았는지보다, 곱이 0이 되는 조건을 처음부터 정확히 읽었는지를 살핍니다. 하늘채스카이앤 1차와 한밭도서관이 있는 생활권에서 중학교 시험 문제를 연습하더라도, 이번 글의 범위는 하나입니다. 곱셈식의 값이 0이면 곱해진 식 중 적어도 하나가 0이어야 한다는 성질로 해를 찾는 과정입니다.

답안지에 남은 두 줄

제시된 문제는 다음과 같았습니다.

(x－4)(2x＋3)＝0일 때 x의 값을 구하여라.

학생은 시간 제한을 의식하며 문제의 식에 괄호를 표시한 뒤 다음처럼 적었습니다.

x－4＝0
x＝4

이후 2x＋3을 다시 보지 않고 ‘따라서 x＝4’라고 결론 내렸습니다. 풀이 중에는 일반적인 곱셈식에서는 두 괄호를 각각 확인하고, 조건이 붙은 문제에서는 원문 조건을 따로 적겠다고 메모해 두었습니다. 즉, 평소 기준은 알고 있었지만 이번에는 식의 모양이 바뀌지 않았다는 이유로 첫 번째 괄호만 확인한 것입니다.

틀어진 순간은 계산이 아니었다

가장 먼저 어긋난 판단은 x－4＝0을 푼 계산이 아닙니다. 그 계산은 x＝4로 정확합니다. 오류는 곱 전체가 0이라는 문장에서 두 인수를 모두 0으로 놓아야 한다는 기준을 적용하지 않고, 첫 번째 인수만 해로 결정한 것입니다.

곱이 0이 되려면 다음 두 경우를 모두 살펴야 합니다.

• x－4＝0 → x＝4
• 2x＋3＝0 → 2x＝－3, x＝－3/2

따라서 해는 x＝4와 x＝－3/2입니다. 여기서 새로운 계산법을 덧붙이는 것이 아니라, 이미 맞게 계산한 첫 번째 경우는 그대로 두고 빠뜨린 두 번째 인수만 확인하면 됩니다.

한 줄을 더 쓰는 교정

교정은 풀이 전체를 다시 바꾸는 방식이 아니었습니다. 학생에게 식 옆에 인수의 개수를 표시하게 했습니다.

(x－4)(2x＋3)＝0
① x－4＝0 → x＝4
② 2x＋3＝0 → x＝－3/2

이번에 직접 고친 행동은 곱해진 각 식을 빠짐없이 0으로 놓는 것 하나입니다. 첫 번째 해를 구한 과정과 부호 계산은 유지했습니다. 특히 ‘두 해가 나와야 한다’고 미리 정하는 것이 아니라, 실제로 곱을 이루는 두 인수를 각각 확인한 결과 두 값이 나온다는 점을 구분했습니다.

표현이 달라진 문제에서 기준 고르기

다음 문제는 식의 앞뒤와 질문 방향을 바꾸었습니다.

어떤 수 t에 대하여 (3t－5)(t＋2)의 값이 0이 되도록 하는 t를 모두 구하여라.

학생은 먼저 ‘값이 0’이라는 문장을 식으로 옮겨

(3t－5)(t＋2)＝0

이라고 적었습니다. 그다음 숫자를 단순히 대입하지 않고 두 인수를 나누어 보았습니다.

• 3t－5＝0 → 3t＝5 → t＝5/3
• t＋2＝0 → t＝－2

이번에는 질문이 x가 아닌 t였고, 0이 되는 식이 문제 문장 뒤에 숨어 있었지만 판단 기준은 같았습니다. 두 값을 구한 뒤에는 각각 원래의 곱에 넣어 확인했습니다.

t＝5/3이면 (3×5/3－5)(5/3＋2)＝(5－5)(11/3)＝0
t＝－2이면 (3×(－2)－5)(－2＋2)＝(－11)×0＝0

두 경우 모두 한 인수가 0이므로 조건을 만족합니다. 반대로 두 인수가 모두 0이어야 한다고 판단하지 않은 것도 중요합니다. 실제로 t＝5/3에서는 첫 번째 인수만 0이고, t＝－2에서는 두 번째 인수만 0이지만 곱은 각각 0입니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

며칠 뒤에는 별도의 표시나 질문 없이 다음 문제를 제시했습니다.

(y＋7)(4－y)＝0이고 y는 음수가 아닌 수이다. 조건을 만족하는 y를 구하여라.

학생은 먼저 곱이 0이 되는 두 경우를 적었습니다.

• y＋7＝0 → y＝－7
• 4－y＝0 → y＝4

그 후 원문에 있는 ‘음수가 아닌 수’ 조건을 대조하여 y＝－7은 제외하고 y＝4만 남겼습니다. 학생은 “곱이 0인 후보는 두 개지만, 문제의 조건까지 만족하는 값은 4이다”라고 설명했습니다. 마지막으로 원래 식에 대입하여

(4＋7)(4－4)＝11×0＝0

이라고 검산했습니다. 선화동중3수학과외에서 확인하고 싶은 장면도 바로 이것입니다. 식을 보자마자 해 하나를 고르는 것이 아니라, 각 인수를 0으로 놓고, 문제에 적힌 조건을 마지막까지 대조한 뒤 원래 곱에 대입하는 것입니다.