선화동 중2수학과외

선화동 중2수학과외에서 확인한 일차부등식의 경계

선화동과외 수업에서 학생은 일차부등식의 해를 구한 뒤, 경계값을 원래 식에 다시 넣어 해의 범위를 확인하는 과정을 연습했다.

답보다 먼저 살펴야 했던 한 줄

문제에는 ‘어떤 수에 3을 빼고 －2를 곱한 값이 10보다 작거나 같다’는 조건이 제시되었다. 학생은 미지수를 x로 두고

－2(x－3) ≤ 10

이라고 옮겼다. 괄호를 풀 때 －2와 －3을 곱해 －2x＋6을 적은 것까지는 정확했다. 이어서 6을 이항하여

－2x ≤ 4

를 만들었지만, 양변을 －2로 나누면서 부등호를 그대로 두고 x ≤ －2라고 표시했다. 학생은 답을 낸 뒤 x에 －2를 대입해 좌변이 10이 된다는 점을 확인했지만, x가 －3일 때도 조건을 만족하는지 살펴보지는 않았다.

여기서 결과값 자체보다 먼저 고쳐야 할 판단은 음수로 나누는 순간에도 부등호 방향이 바뀐다는 사실을 계산 줄에 표시하지 않은 것이었다. 처음 식에 x＝－3을 넣으면 －2(－6)＝12가 되어 10보다 작거나 같지 않다. 따라서 x≤－2라는 범위는 원래 조건과 맞지 않는다.

음수 연산 바로 옆에 방향을 남기기

교정은 풀이 전체를 다시 외우는 방식이 아니었다. 이미 맞게 전개한 과정은 그대로 두고, 음수로 나누는 줄에만 표시를 덧붙였다.

－2x ≤ 4
양변을 －2로 나눔 → 부등호 방향 변경
x ≥ －2

학생은 －2를 경계값으로 정한 뒤, 경계의 왼쪽 수인 －3과 오른쪽 수인 0을 각각 원래 부등식에 넣었다. x＝－3이면 12≤10이 거짓이고, x＝0이면 6≤10이 참이었다. 그래서 해가 －2를 포함하면서 오른쪽으로 이어진다는 것을 계산으로 확인했다. 등호가 있는 ≤에서는 경계값을 포함하지만, 부등호가 ＜로 바뀌면 경계값을 제외한다는 차이도 같은 자리에서 구분했다.

식이 아닌 조건표로 바꾸어 본 적용

다음 문제는 식을 바로 풀지 않고 문장과 표로 정리했다. ‘어떤 수의 두 배에서 5를 뺀 값이 7보다 크다’는 조건에서 학생은 먼저 ‘7보다 크다’를 ＞로 표시하고, 식을

2x－5 ＞ 7

로 만들었다. 이번에는 양변에 5를 더해 2x＞12, 양변을 양수 2로 나누어 x＞6이라고 적었다. 이어서 경계값 6은 포함하지 않는다고 동그라미에 빗금을 치고, 수직선에서 6에 빈 점을 찍은 뒤 오른쪽을 표시했다.

형태를 바꾼 문제도 제시했다. “수직선에서 －4에 빈 점이 있고 오른쪽으로 색칠된 해를 부등식으로 나타내라”는 질문에서 학생은 먼저 x＞－4라고 말한 뒤, ‘빈 점은 경계 제외, 오른쪽은 큰 수’를 근거로 설명했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 문장, 식, 수직선 사이의 대응을 확인한 것이다. 또 “x가 3보다 작거나 같은 수일 때, 양변에 －1을 곱한 결과”를 묻자 x≤3에서 －x≥－3으로 바뀐다고 적으며 음수 연산 뒤 방향이 반대가 되는 이유를 다시 드러냈다.

도움 없이 경계와 예외를 설명한 검산

수업의 끝에는 새 조건을 주고 풀이 순서에 대한 힌트를 주지 않았다.

－3(2x＋1) ＜ 9

학생은 첫 줄에서 “－3으로 묶인 식을 정리한 뒤, 음수로 나누는 순간 방향을 바꿔야 한다”고 말했다. 양변을 －3으로 나누어 2x＋1＞－3, 이어서 2x＞－4, x＞－2를 얻었다. 경계값 －2는 ＜ 조건에서 제외된다고 설명하고, x＝－3을 넣으면 15＜9가 거짓, x＝0을 넣으면 －3＜9가 참이라고 검산했다.

마지막으로 학생은 “음수로 나누거나 곱한 줄에는 방향 변경을 표시하고, 등호가 있는지 확인한 다음 경계 양쪽의 수를 원래 부등식에 넣는다”고 스스로 정리했다. 선화동중2수학과외에서 확인한 최종 판단은 답을 맞힌 사실이 아니라, 새로운 일차부등식에서도 경계 포함 여부와 음수 연산의 예외를 도움 없이 설명하고 검산했다는 점에 있었다.