선화동 고3수학과외

끝점에서 달라진 최댓값 판단

선화동 생활권에서 수능 수학을 준비하던 학생의 오답을 거꾸로 따라가 보니, 계산 실수보다 먼저 확인해야 할 경계를 놓친 장면이 드러났다. 최댓값과 최솟값을 묻는 함수 문제에서 학생은 도함수의 부호가 바뀌는 지점만 찾은 뒤, 그 값을 곧바로 최댓값 후보로 적었다. 정의역의 끝점은 계산 대상이 아니라는 듯 제외했다.

처음부터 풀이가 틀린 것은 아니었다. 미분하고 임계점을 찾는 방향 자체는 맞았다. 그러나 오답 해설의 결론을 역으로 확인하는 과정에서 “부호가 바뀌는 임계점이 있으면 그곳이 최댓값”이라는 일반적인 규칙을 경계값에도 그대로 적용한 것이 최초의 어긋남이었다. 실제로 닫힌구간에서는 내부 임계점과 양 끝점을 모두 비교해야 하므로, 끝점을 빼는 순간 후보 목록이 완성되지 않는다.

기울기만 보던 풀이를 두 구간으로 나누다

학생에게 새로운 풀이법을 여러 개 제시하지 않고, 기울기를 확인하는 줄만 다시 쓰게 했다. 먼저 일반구간과 예외적으로 직접 대입해야 하는 경계를 나누어 표시했다. 예를 들어 함수가 f(x)=x^3-3x, 정의역이 [-2,2]라면

f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)

이므로 내부 임계점은 x=-1, 1이다. 하지만 후보는 여기서 끝나지 않고 -2,-1,1,2가 된다. 각각을 원래 함수에 대입하면

f(-2)=-2, f(-1)=2, f(1)=-2, f(2)=2

이어서 최댓값은 2, 최솟값은 -2이다. 학생은 경계값 하나를 직접 대입한 뒤, 후보를 오름차순으로 적고 삭제한 순서를 번호로 남겼다. 이 기록 덕분에 답이 틀렸을 때 결과만 다시 보는 것이 아니라, 어느 후보를 처음부터 빠뜨렸는지 찾을 수 있었다.

이 방식은 대전고3수학과외에서 자주 강조하는 ‘후보를 만든 뒤 비교하기’와도 연결된다. 다만 지역이나 풀이 습관을 탓하지 않고, 이번 사례에서는 끝점 누락이라는 한 행동만 고쳤다. 다음 날 표시 없이 같은 문제를 다시 풀었을 때 학생은 마지막에 원래 조건을 후보에 재대입하며 정의역을 다시 확인했다.

경계 하나를 바꿔도 구조를 먼저 읽는가

독립 적용에서는 숫자만 바꾸지 않고 조건의 위치를 바꾸었다. 함수 g(x)=ln(x-1)-x의 최댓값을 정의역 [2,4]에서 구하게 한 뒤, 이어서 왼쪽 끝점을 삭제하여 정의역을 (2,4]로 바꾸었다. 먼저 로그의 진수 조건인 x-1>0을 후보 옆에 적게 했다.

도함수는 g'(x)=1/(x-1)-1=(2-x)/(x-1)이다. [2,4]에서는 x=2가 경계이자 도함수가 0이 되는 지점이고, 2<x≤4에서 도함수는 음수이므로 최댓값은 g(2)=ln1-2=-2이다. 그런데 정의역을 (2,4]로 바꾸면 x=2를 넣을 수 없다. 함수는 오른쪽에서 계속 감소하지만, 최댓값을 실제로 취하는 점은 없고 상한만 -2에 가까워진다.

학생은 이전 문제의 수치를 기억해 답하지 않고, 먼저 “끝점 포함 여부”와 “로그 진수의 양수 조건”을 따로 표시했다. 그 결과 같은 식이라도 폐구간과 반열린구간의 결론이 달라진다는 점을 스스로 설명했다. 매개변수가 추가된 변형에서는 교점의 개수를 바꾸는 조건만 표시하고, 최댓값 판단과 직접 관계없는 정보에는 사용하지 않았다는 표시도 남겼다.

시간이 줄어든 상황에서 남은 판단

마지막 확인은 풀이 시간을 절반으로 줄인 새로운 4점 문항으로 진행했다. 함수의 식은 달랐고 수치도 커졌지만, 학생은 계산부터 시작하지 않았다. 정의역을 읽고, 끝점 포함 여부를 확인한 다음, 도함수의 부호가 바뀌는 내부 지점과 직접 대입할 경계 후보를 분리했다. 이후 후보를 오름차순으로 배열하고 원래 조건에 다시 넣었다.

검산 중 한 후보의 값이 다른 값보다 커 보이자 학생은 결론만 고치지 않고 그 값이 어느 줄에서 생겼는지 역추적했다. 로그의 진수 조건을 빠뜨리지 않았는지, 열린 끝점을 실수로 포함하지 않았는지를 먼저 살폈다. 수치가 커지고 시간 제한이 짧아져도 ‘구조 분류 → 후보 작성 → 경계 대입 → 원조건 재확인’의 순서가 유지된 것이다. 선화동과외에서 다룰 때도 이 장면처럼 정답보다 먼저 후보가 어떻게 만들어졌는지를 확인해야 한다.