둔산신도시 중3수학과외

조건이 달라질 때 인수분해 풀이를 멈추는 지점

식을 인수분해한 뒤에도 원래 조건과 부호를 확인해야 하는데, 익숙한 모양만 보고 바로 해를 적는 순간 답이 달라질 수 있습니다.

노트에 남은 첫 번째 판단

학생은 다음 문제를 풀었습니다.

방정식 x²-7x+12=0을 풀어라.

노트에는 먼저

x²-7x+12=(x-3)(x-4)

라고 정확히 적혀 있었습니다. 이어서 두 인수의 곱이 0이므로

x-3=0 또는 x-4=0

에서 x=3, 4를 얻었습니다. 여기까지의 계산은 맞았습니다. 그런데 다음 문제에서 학생의 판단이 달라졌습니다.

방정식 (x-3)(x+4)=0을 풀어라. 단, x는 양수이다.

학생은 인수분해된 식을 보고 x=3, -4를 구한 뒤, 답을 “x=3 또는 x=-4”라고 적었습니다. 마지막에 붙은 ‘x는 양수이다’라는 조건을 읽었지만, 이미 구한 두 해를 그대로 옮긴 것입니다.

계산 전이 아니라 조건을 빠뜨린 순간

이 풀이에서 가장 먼저 어긋난 판단은 인수분해나 계산이 아니었습니다. 원문 조건 x>0을 확인하지 않고 두 해를 모두 결론으로 삼은 것이 최초 오류였습니다. (x-3)(x+4)=0에서 나온 후보는 3과 -4이지만, 문제는 양수인 x만 허용합니다. 따라서 -4는 식을 만족하더라도 문제의 조건에는 맞지 않습니다.

학생이 앞 문제에서 사용한 “두 인수를 각각 0으로 놓는다”는 과정은 그대로 맞았습니다. 바꿀 것은 계산 전체가 아니라, 해를 적기 직전에 조건을 대조하는 한 행동이었습니다.

한 줄을 앞에 세워 다시 판단하기

같은 문제를 다시 풀 때는 학생이 식 아래에 먼저 다음을 적었습니다.

조건: x>0

그다음

(x-3)(x+4)=0

이므로 x=3 또는 x=-4를 구했습니다. 마지막으로 조건과 비교하여 3은 양수이고 -4는 양수가 아니므로 제외했습니다.

답: x=3

이때 처음의 인수분해와 두 해를 구하는 계산은 그대로 유지했습니다. 조건을 먼저 적고, 구한 값 중 조건에 맞는지만 판단하도록 순서 하나만 고친 것입니다.

표현이 바뀐 문제에서 경계 찾기

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 질문의 방향과 조건의 위치를 바꾸어 제시했습니다.

두 수의 곱이 0이고, 두 수가 각각 x-5와 x+2일 때 x의 값 중 음수가 아닌 것을 구하여라.

학생은 문제의 문장을

(x-5)(x+2)=0

으로 바꾸어 적었습니다. 곱이 0이므로 x-5=0 또는 x+2=0이고, 후보는 x=5, -2입니다. 이번에는 문제의 “음수가 아닌 것”을 x≥0으로 바꾸어 적은 뒤, 5는 포함하고 -2는 제외했습니다.

이번 문제는 앞의 식에서 계수와 부호만 바꾼 반복이 아닙니다. 조건이 식 뒤에 붙지 않고 문장 안에 들어 있었고, “양수”가 아니라 “음수가 아닌 것”으로 제시되었습니다. 그러나 인수분해한 뒤 나온 후보를 원래 조건과 비교한다는 판단 기준은 같았습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 문제

마지막에는 다음 문제를 별도의 표시나 질문 없이 풀게 했습니다.

방정식 x²+x-6=0의 해 중 0보다 작은 해를 구하고, 구한 값이 원래 방정식을 만족하는지 확인하여라.

학생은 먼저 문제의 제한을 x<0이라고 적었습니다. 이후

x²+x-6=(x+3)(x-2)

로 인수분해하고, x+3=0 또는 x-2=0에서 x=-3, 2를 얻었습니다. “0보다 작은 해”라는 기준에 따라 -3만 선택했습니다.

검산도 조건과 식을 나누어 확인했습니다.

(-3)²+(-3)-6=9-3-6=0

또한 -3<0이므로 질문의 조건도 만족한다고 설명했습니다. 반대로 2는 식에는 대입되어 0이 되지만, 2<0은 거짓이므로 답으로 선택하지 않는다고 덧붙였습니다.

이제 학생은 인수분해 결과가 두 개의 후보를 줄 뿐, 최종 답은 반드시 원문에 적힌 부호 조건까지 통과해야 한다는 경계를 스스로 설명했습니다. 갈마도서관 인근 생활권에서 복습하더라도 같은 유형을 만났을 때, 식을 인수분해한 뒤 곧바로 결론을 쓰지 않고 후보 해를 원래 조건에 대입해 남길 값만 결정하는 과정을 재현할 수 있게 되었습니다.