둔산신도시 고3수학과외

정지점만 믿지 않는 극대·극소 판별

문제는 f(x)=x³−3x²+2의 구간 [0, 3]에서 극대와 극소를 판단하는 내용이었다. 학생은 먼저 정의역과 끝점을 적고, 도함수의 부호가 달라지는 지점을 찾으려 했다. 그러나 계산을 시작하면서 “극대·극소는 도함수가 0인 곳에서만 생긴다”고 정리한 뒤, x=0과 x=2 중 내부점인 x=2만 후보로 남겼다.

경계에서 빠진 한 단계

도함수는 f′(x)=3x(x−2)이다. 학생은 x=0, 2를 모두 구했지만, x=0에서는 부호가 바뀌지 않는다는 이유로 후보에서 삭제했다. 이것이 최초의 어긋남이었다. 일반적인 내부 임계점 판정법을 구간의 경계에 그대로 적용한 것이다. 실제로 (0, 2)에서는 f′(x)<0이고 (2, 3)에서는 f′(x)>0이므로 x=2는 극소점이다. 반면 x=0은 오른쪽 구간에서 함수가 감소하므로, 정의역 [0, 3] 안에서 x=0보다 가까운 오른쪽 값들의 함수값이 더 작다. 따라서 x=0은 구간에서의 극대가 아니다. 다만 “끝점은 항상 제외한다”라고 말할 수도 없다는 점이 문제의 핵심이었다.

학생은 뒤의 계산을 무작정 다시 하지 않고, 후보를 내부 정지점과 구간 경계로 나누어 표시했다. 내부 정지점 x=2에는 좌우 부호변화를 확인하고, 끝점 0과 3에는 인접한 정의역 방향의 함수값 변화를 따로 적었다. 이어 함수값을 계산했다.

• f(0)=2
• f(2)=−2
• f(3)=2

그 결과 x=2에서는 감소에서 증가로 바뀌어 극소가 되고, 닫힌 구간 전체의 최댓값은 x=0과 x=3에서 함께 나타난다는 사실도 확인했다. 여기서 학생은 ‘극대·극소’와 ‘구간 전체의 최대·최소’를 같은 판정으로 처리하지 않도록 용어 옆에 범위를 적었다.

조건을 바꿨을 때 남는 판단

같은 식의 숫자만 바꾸는 대신, 그래프의 일부 정보만 제시된 변형을 풀었다. 이번에는 함수가 [−1, 2]에서 정의되고, “구간 내부의 극대·극소”와 “닫힌 구간에서의 최댓값·최솟값”을 각각 구하라는 문제였다. 학생은 먼저 도함수의 영점 x=0, 2를 적었지만 x=2는 구간의 끝점이라는 점을 따로 표시했다. 부호표는 −1

또한 조건이 “x=2를 제외한 열린 구간”으로 바뀌자 끝점 비교를 그대로 유지하지 않았다. 학생은 먼저 정의역을 다시 쓰고, 실제로 허용되는 후보만 남겼다. 이때 그래프의 꼭짓점처럼 보이는 점이라도 원래 정의역에 포함되는지 확인한 뒤 결론을 내렸다. 풀이가 끝난 뒤에는 사용한 조건에 동그라미를 쳐서, 부호변화와 경계값 비교가 서로 다른 절차임을 스스로 설명했다.

힌트 없이 다시 드러난 기준

마지막 확인에서는 매개변수 조건이 붙은 함수의 그래프를 보고, 경계 바로 왼쪽과 오른쪽의 변화만 판단하게 했다. 학생은 해설을 요구하지 않고 먼저 정의역을 적은 뒤, 도함수의 영점이 구간 내부인지 끝점인지 확인했다. 이어 경계값을 원래 함수에 대입하고, 내부점에서는 부호가 실제로 바뀌는지 점검했다.

특히 “도함수가 0이면 무조건 극대나 극소”라는 반례로 f(x)=x³의 x=0을 떠올렸다. f′(0)=0이지만 좌우에서 도함수 부호가 모두 양수이므로 극값이 아니다. 반대로 끝점은 부호변화가 없어도 구간 전체의 최대·최소 후보가 될 수 있다. 학생이 새 문제에서도 먼저 정의역을 찾고, 내부점의 부호변화와 끝점의 함수값 비교를 분리해 말한 순간, 처음의 규칙 암기가 경계 검증 절차로 바뀌었음을 확인할 수 있었다.