둔산신도시 중2수학과외

경계값에서 멈춘 부등식 풀이

문제는 “수직선 위에서 해를 나타내고, 경계값이 해에 포함되는지 설명하라”는 형태였다. 단순히 계산 결과만 쓰는 것이 아니라 부등호의 방향과 점의 모양을 함께 판단해야 했다.

학생은 먼저 식의 양변에서 3을 빼고, 양변을 정리한 뒤 마지막 줄에 -2x < 8을 적었다. 이어서 양변을 -2로 나누어 x < -4라고 썼다. 수직선에는 -4에 열린 점을 표시하고 왼쪽으로 선을 그었다. 계산 과정의 숫자는 맞아 보였지만, 학생은 경계값 -4를 원래 식에 넣어도 조건을 만족하지 않는다고 설명했다.

오류가 시작된 한 줄

풀이를 거꾸로 확인하자 결과보다 먼저 어긋난 판단이 보였다. 학생은 음수로 나눌 때 부등호 방향을 그대로 유지했다. 이 한 줄 때문에 경계의 왼쪽과 오른쪽이 모두 반대로 정해진 것이다. 특히 학생은 “등호가 없으니 열린 점”이라는 판단은 했지만, 음수로 나눈 순간 부등호가 바뀐다는 조건은 계산 표시에서 빠뜨렸다.

음수로 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향을 반드시 바꾼다. 등호가 있는지는 점의 모양을, 부등호의 방향은 어느 쪽 영역인지 결정한다.

교정에서는 이미 맞게 처리한 부분을 다시 하지 않았다. 식을 정리해 -2x < 8까지 만든 뒤, 학생이 직접 “양변을 -2로 나누므로 <가 >로 바뀐다”고 적게 했다. 따라서 해는 x > -4가 된다. -4에는 등호가 없으므로 열린 점을 찍고, -4보다 큰 오른쪽을 표시했다. 그다음 경계값을 확인하기 위해 x=-4를 원래 부등식에 대입했다. 양변이 같아져 등호 없는 조건을 만족하지 않으므로 열린 점이라는 설명도 이어졌다.

수직선과 문장 조건을 바꾸어 확인하기

같은 숫자를 반복하지 않고 표현을 바꾼 문제를 제시했다. 수직선에 -2가 닫힌 점으로 표시되어 있고 오른쪽으로 색칠되어 있을 때, 이를 부등호와 문장으로 나타내는 문제였다. 학생은 먼저 점의 모양을 보고 “-2를 포함한다”고 표시한 다음, 색칠 방향을 확인해 x≥-2라고 썼다. “어떤 수 x는 -2 이상이다”라고 문장으로도 바꾸었다.

이번에는 식의 위치를 바꾸었다. 5-3x≤11을 풀면서 학생은 양변에서 5를 빼어 -3x≤6을 만들고, -3으로 나눌 때 x≥-2로 방향을 바꾸었다. -2에는 닫힌 점을 찍어야 하는 이유를 “≤에 등호가 포함되어 경계값을 허용하기 때문”이라고 말했다. 앞서 사용한 열린 점과 혼동하지 않고, 부등호의 등호 유무를 따로 표시했다.

• 음수로 나누거나 곱하면 부등호 방향을 바꾼다.
• 등호가 있으면 경계값을 포함하므로 닫힌 점을 사용한다.
• 등호가 없으면 경계값을 제외하므로 열린 점을 사용한다.
• 수직선의 방향과 부등호가 가리키는 범위를 서로 대조한다.

힌트 없이 다시 세운 판단

수업 끝부분에는 새로운 조건을 주었다. “어떤 수에 4를 곱한 값에서 7을 뺀 수가 9보다 크지 않다”를 부등식과 수직선으로 나타내라는 문제였다. 학생은 먼저 4x-7≤9라고 식을 세웠다. 양변에 7을 더해 4x≤16, 양변을 양수 4로 나누어 x≤4라고 정리했다.

학생은 도움 없이 “이번에는 양수로 나누었으므로 방향을 바꾸지 않는다”고 설명했다. 또 “크지 않다는 말은 9보다 작거나 같다는 뜻이므로 4를 포함한다”고 말하며 4에 닫힌 점을 찍고 왼쪽을 표시했다. 마지막으로 x=4를 원래 식에 넣어 9≤9가 성립하고, x=5를 넣으면 13≤9가 성립하지 않는다고 검산했다. 경계값의 포함 여부, 부등호 방향, 수직선의 표시가 모두 같은 결론을 가리키는지 스스로 확인한 장면이었다.

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