괴정동 중등수학과외

괴정동중등수학과외, 자료 8·9·9·10·19에서 평균과 중앙값을 확인하는 방법

대표값 문제는 답을 맞혔는지뿐 아니라, 한 값이 크게 바뀌었을 때 어떤 대표값이 영향을 받는지 설명할 수 있는지가 중요합니다. 자료 8, 9, 9, 10, 19의 평균·중앙값·최빈값을 비교하는 문제에서 평균은 11, 중앙값은 9, 최빈값은 9입니다. 이 정답을 구한 뒤에는 19라는 큰 값이 왜 평균에는 반영되지만 중앙값과 최빈값은 그대로인지 풀이에 남겨 보는 것이 필요합니다. 괴정동중등수학과외 수업에서도 맞힌 결과를 오답처럼 다시 다루기보다, 학생이 적은 식과 자료의 순서를 연결해 근거를 확인합니다.

정렬한 자료에서 가운데 자리가 유지되는 이유

먼저 자료를 작은 수부터 8, 9, 9, 10, 19로 정렬합니다. 모두 다섯 개이므로 가운데는 세 번째 자리이고, 그 값은 9입니다. 따라서 중앙값은 9입니다. 여기서 중요한 질문은 “가장 큰 값이 달라져도 가운데 자리가 바뀌는가?”입니다. 가장 큰 값은 다섯 번째 자리에 있으므로 세 번째 자리의 9를 밀어내지 않습니다. 중앙값은 자료의 합이 아니라 정렬한 위치를 이용해 정하므로, 19가 크다는 사실만으로 중앙값이 커지지는 않습니다. 또 9는 두 번 나타나고 8, 10, 19는 각각 한 번이므로 가장 자주 나온 값인 최빈값도 9입니다. 풀이에 ‘세 번째 값=9’, ‘9가 2번’처럼 표시하면 중앙값과 최빈값의 판단 근거가 분명해집니다.

평균 11은 합의 변화가 모든 자료에 나뉘어 반영된 결과

평균은 자료의 위치나 빈도 대신 전체 합을 자료의 개수로 나눠 구합니다. 8+9+9+10+19=55이고, 자료가 5개이므로 55÷5=11입니다. 큰 값 19는 합 55 안에 들어가기 때문에 평균 11에 영향을 줍니다. 이때 평균을 구하는 줄만 적고 중앙값의 줄과 섞지 않도록 합니다. 예를 들어 ‘합÷5=11’은 평균의 근거이고, ‘정렬했을 때 세 번째=9’는 중앙값의 근거입니다. 두 줄의 판단 기준이 다르다는 점을 확인하면 대표값을 단순히 외운 공식으로 처리하지 않게 됩니다. 평균이 합의 변화량을 몇으로 나누어 반영하는지도 함께 살펴봅니다. 자료가 5개이므로 합이 10만큼 늘면 평균은 10÷5=2만큼 늘어납니다.

가장 큰 값을 29로 바꾼 뒤 독립적으로 비교하기

다음에는 19만 29로 바꾼 자료 8, 9, 9, 10, 29를 제시하고, 먼저 도움 없이 같은 순서로 풀이하게 합니다. 합은 기존 55에서 10 증가한 65이므로 평균은 65÷5=13입니다. 또는 앞서 확인한 대로 합이 10 늘었고 이를 5개로 나누면 평균이 2 늘어나므로 11+2=13이라고 검산할 수 있습니다. 반면 정렬 순서는 여전히 8, 9, 9, 10, 29이고 세 번째 값은 9이므로 중앙값은 9입니다. 9가 두 번으로 가장 많이 나온다는 빈도도 같아 최빈값 역시 9입니다. 즉 극단적으로 큰 값의 변화는 평균을 11에서 13으로 바꾸지만, 이 자료에서는 가운데 위치와 가장 잦은 값은 바꾸지 않습니다.

이후에는 정답을 다시 말하게 하기보다, 기본 자료와 바뀐 자료를 나란히 적어 19→29, 합 55→65, 평균 11→13을 연결하게 합니다. 동시에 세 번째 자리와 9의 등장 횟수에 표시가 남아 있는지 확인합니다. 가운데 자리가 왜 유지되는지, 평균의 변화량 10을 왜 5로 나누는지 근거를 제시하며 비교 과제를 스스로 풀 수 있는지가 다음 학습으로 넘어가기 위한 확인 기준입니다.