괴정동 고2수학과외







원식 검증에서 시작한 지수방정식 점검
최종 답을 확인하던 중 후보 \(x=0\)과 \(x=2\)가 적혀 있었다. 그러나 원식에 대입하자 \(x=0\)에서는 분모가 0이 되어 식 자체가 정의되지 않았다. 이처럼 괴정동과외 수업에서는 계산 결과보다 원식의 성립 여부를 먼저 확인한다.
검증 장면에서 드러난 문제
다음 방정식을 살펴보자.
\[ \frac{(2^x-1)(2^x-4)}{2^x-1}=0 \]
분모 조건에 따라 \(2^x-1\ne0\)이어야 하므로 \(x\ne0\)이다. 이 조건을 빠뜨리면 분자만 보고 \(x=0, 2\)를 모두 해로 적게 된다.
후보가 생긴 과정과 탈락 이유
분자가 0이어야 한다고만 판단하면
\[ (2^x-1)(2^x-4)=0 \]
이므로
- \(2^x-1=0\)에서 \(x=0\)
- \(2^x-4=0\)에서 \(x=2\)
를 얻는다.
하지만 \(x=0\)을 원식에 넣으면 분모 \(2^0-1=0\)이므로 원식이 정의되지 않는다. 따라서 \(x=0\)은 탈락한다. \(x=2\)를 대입하면
\[ \frac{(4-1)(4-4)}{4-1}=0 \]
이므로 성립한다.
약분할 때 반드시 남겨야 할 조건
\(x\ne0\) 조건 아래에서 \(2^x-1\)을 약분하면
\[ 2^x-4=0 \quad\Rightarrow\quad 2^x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2 \]
가 최종 해이다. 약분 자체는 가능하지만, 약분한 식에는 원래 분모가 0이 되지 않는다는 조건이 함께 따라온다.
역문제로 확인하는 풀이 습관
비슷한 문제에서 후보가 여러 개 나오면 먼저 정의 조건을 기록하고, 변형 과정에서 제곱이나 약분이 있었는지 표시한다. 마지막에는 후보를 원식에 대입해 값이 실제로 0인지, 또는 식이 정의되는지 각각 확인해야 한다. 이 방식을 대전고3수학과외의 지수방정식 풀이에도 적용하면 계산 중 생긴 가짜 해를 안정적으로 걸러낼 수 있다.