괴정동 중3수학과외

괴정동 중3수학과외에서 살펴본 부호 있는 인수분해의 한 장면

괴정동과외 수업에서 한 학생의 풀이 기록을 함께 펼쳐 보았습니다. 한신 아파트가 있는 생활권이나 가수원도서관 인근 생활권에서 중3수학을 공부하는 학생들도 자주 만나는 유형이지만, 이번 시간의 범위는 넓히지 않고 부호가 섞인 식의 인수분해 하나에만 맞추었습니다. 대전괴정중학교와 대전서중학교가 포함된 생활권에서 볼 수 있는 문제라는 배경만 참고하고, 실제 출제 경향이나 학교별 난도는 판단하지 않았습니다.

답보다 먼저 남은 풀이 흔적

도서관 자습 시간에 학생은 다음 식을 유형 이름 없이 읽었습니다.

6x² - 7x - 3

학생은 식 옆에 먼저 ‘공통인수 없음’이라고 표시한 뒤, 두 수의 곱이 -18이고 합이 -7이어야 한다고 적었습니다. 그러나 바로 다음 줄에서 예전에 보았던 순서를 떠올려 2와 -9를 선택했습니다. 두 수의 곱은 -18이지만 합은 -7이 아니라 -7? 실제로 2+(-9)=-7이므로 이 조건은 맞았습니다. 학생은 이를 바탕으로

6x² - 7x - 3 = (3x + 1)(2x - 3)

이라고 썼습니다. 그런데 가운데항을 계산해 보니 -9x+2x=-7x가 되어 식과 일치합니다. 이 풀이 자체는 맞았습니다. 문제는 다음 식에서 드러났습니다.

8x² + 2x - 3

이번에는 곱이 -24, 합이 2가 되어야 하는데, 학생은 앞 문제의 순서를 그대로 따라 6과 -4를 골랐습니다. 곱은 -24지만 합은 2가 아니라 2이므로 여기서도 우연히 조건이 맞았습니다. 하지만 이를 두 이차항 계수에 배치하는 과정에서

(4x + 6)(2x - 1)

을 적고, 전개 중 24x²를 8x²로 잘못 옮겼습니다. 계산 실수보다 앞서 확인할 지점은 인수 선택을 ‘예제의 모양’에 기대고 있었다는 점이었습니다.

한 줄의 기준을 두 조건으로 나누다

우리는 이미 맞게 계산한 가운데항 확인은 그대로 두고, 인수를 고르는 행동 하나만 바꾸었습니다. 학생은 식마다 다음 두 칸을 먼저 만들었습니다.

• 두 수의 곱: 첫항 계수와 상수항의 곱
• 두 수의 합: 가운데항의 계수

따라서 8x²+2x-3에서는 -24와 2를 동시에 만족하는 수가 6과 -4임을 확인한 뒤, 8x²를 만들 수 있도록 4x와 2x에 나누어 적었습니다.

8x² + 2x - 3
= 8x² + 6x - 4x - 3
= 2x(4x+3) - 1(4x+3)
= (2x-1)(4x+3)

학생이 처음 적은 (4x+6)(2x-1)은 전개하면 8x²+4x-6이므로 원식이 아닙니다. 곱과 합을 확인하는 것만으로 끝내지 않고, 두 수를 실제 항으로 나누어 쓴 뒤 같은 괄호가 생기는지 확인해야 했습니다. 교정은 ‘인수분해 전에 곱과 합을 따로 적는다’는 한 가지 기준으로 제한했습니다.

표현을 바꾼 문제에서도 같은 판단

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 식 대신, 항의 순서와 전체 부호를 달리한 문제를 제시했습니다.

-15y² + 2y + 8

질문은 “위 식을 두 일차식의 곱으로 나타내라”였습니다. 학생은 먼저 식 전체의 부호를 무작정 분배하지 않고, -15와 8을 곱한 -120, 가운데항의 계수 2를 기록했습니다. 곱이 -120이고 합이 2인 두 수로 12와 -10을 선택한 뒤, 가운데항을 나누었습니다.

-15y² + 2y + 8
= -15y² + 12y - 10y + 8
= -3y(5y-4) - 2(5y-4)
= (-3y-2)(5y-4)

이번에는 첫항이 음수이고 가운데항이 양수라서 앞 문제와 식의 모양이 달랐지만, 학생은 부호를 감으로 정하지 않았습니다. 두 수의 곱과 합을 각각 맞춘 다음, 묶음에서 같은 괄호가 실제로 나오는지 확인했습니다.

일주일 뒤, 힌트 없이 되짚은 전개

한 주 뒤 마지막 문제는 다음과 같았습니다.

12t² - 11t - 5를 인수분해하고, 얻은 두 인수를 전개하여 원식과 비교하시오.

학생은 별도의 유형명이나 풀이 순서를 안내받지 않고 -60과 -11을 적었습니다. 곱이 -60이고 합이 -11인 수로 4와 -15를 고른 뒤, 12t²를 만들 수 있게 항을 나누었습니다.

12t² - 11t - 5
= 12t² + 4t - 15t - 5
= 4t(3t+1) - 5(3t+1)
= (4t-5)(3t+1)

학생은 마지막에 다시 전개하여 12t²+4t-15t-5=12t²-11t-5라고 설명했습니다. “곱이 -60이라는 조건만으로 고르지 않고, 합이 -11인지도 확인했고, 묶은 뒤 전개 결과가 처음 식과 같은지도 보았습니다”라는 말까지 스스로 덧붙였습니다. 괴정동중3수학과외에서 확인한 변화는 풀이량이 늘어난 것이 아니라, 부호가 섞인 식에서 인수를 선택하는 기준을 한 번도 놓치지 않았다는 점입니다.