괴정동 중3수학과외

괴정동 중3수학과외에서 살펴본 부호 있는 인수분해의 한 장면

괴정동과외 수업에서 한 학생의 풀이 기록을 함께 펼쳐 보았습니다. 대전괴정중학교와 대전서중학교가 포함된 생활권에서 볼 수 있는 문제라는 배경만 참고하고, 실제 출제 경향이나 학교별 난도는 판단하지 않았습니다.

답보다 먼저 남은 풀이 흔적

도서관 자습 시간에 학생은 다음 식을 유형 이름 없이 읽었습니다.

6x² - 7x - 3

학생은 식 옆에 먼저 ‘공통인수 없음’이라고 표시한 뒤, 두 수의 곱이 -18이고 합이 -7이어야 한다고 적었습니다. 그러나 바로 다음 줄에서 예전에 보았던 순서를 떠올려 2와 -9를 선택했습니다. 두 수의 곱은 -18이지만 합은 -7이 아니라 -7? 실제로 2+(-9)=-7이므로 이 조건은 맞았습니다. 학생은 이를 바탕으로

6x² - 7x - 3 = (3x + 1)(2x - 3)

이라고 썼습니다. 그런데 가운데항을 계산해 보니 -9x+2x=-7x가 되어 식과 일치합니다. 이 풀이 자체는 맞았습니다. 문제는 다음 식에서 드러났습니다.

8x² + 2x - 3

이번에는 곱이 -24, 합이 2가 되어야 하는데, 학생은 앞 문제의 순서를 그대로 따라 6과 -4를 골랐습니다. 곱은 -24지만 합은 2가 아니라 2이므로 여기서도 우연히 조건이 맞았습니다. 하지만 이를 두 이차항 계수에 배치하는 과정에서

(4x + 6)(2x - 1)

을 적고, 전개 중 24x²를 8x²로 잘못 옮겼습니다. 계산 실수보다 앞서 확인할 지점은 인수 선택을 ‘예제의 모양’에 기대고 있었다는 점이었습니다.

한 줄의 기준을 두 조건으로 나누다

우리는 이미 맞게 계산한 가운데항 확인은 그대로 두고, 인수를 고르는 행동 하나만 바꾸었습니다. 학생은 식마다 다음 두 칸을 먼저 만들었습니다.

• 두 수의 곱: 첫항 계수와 상수항의 곱
• 두 수의 합: 가운데항의 계수

따라서 8x²+2x-3에서는 -24와 2를 동시에 만족하는 수가 6과 -4임을 확인한 뒤, 8x²를 만들 수 있도록 4x와 2x에 나누어 적었습니다.

8x² + 2x - 3
= 8x² + 6x - 4x - 3
= 2x(4x+3) - 1(4x+3)
= (2x-1)(4x+3)

학생이 처음 적은 (4x+6)(2x-1)은 전개하면 8x²+4x-6이므로 원식이 아닙니다. 곱과 합을 확인하는 것만으로 끝내지 않고, 두 수를 실제 항으로 나누어 쓴 뒤 같은 괄호가 생기는지 확인해야 했습니다. 교정은 ‘인수분해 전에 곱과 합을 따로 적는다’는 한 가지 기준으로 제한했습니다.

표현을 바꾼 문제에서도 같은 판단

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 식 대신, 항의 순서와 전체 부호를 달리한 문제를 제시했습니다.

-15y² + 2y + 8

질문은 “위 식을 두 일차식의 곱으로 나타내라”였습니다. 학생은 먼저 식 전체의 부호를 무작정 분배하지 않고, -15와 8을 곱한 -120, 가운데항의 계수 2를 기록했습니다. 곱이 -120이고 합이 2인 두 수로 12와 -10을 선택한 뒤, 가운데항을 나누었습니다.

-15y² + 2y + 8
= -15y² + 12y - 10y + 8
= -3y(5y-4) - 2(5y-4)
= (-3y-2)(5y-4)

이번에는 첫항이 음수이고 가운데항이 양수라서 앞 문제와 식의 모양이 달랐지만, 학생은 부호를 감으로 정하지 않았습니다. 두 수의 곱과 합을 각각 맞춘 다음, 묶음에서 같은 괄호가 실제로 나오는지 확인했습니다.

일주일 뒤, 힌트 없이 되짚은 전개

한 주 뒤 마지막 문제는 다음과 같았습니다.

12t² - 11t - 5를 인수분해하고, 얻은 두 인수를 전개하여 원식과 비교하시오.

학생은 별도의 유형명이나 풀이 순서를 안내받지 않고 -60과 -11을 적었습니다. 곱이 -60이고 합이 -11인 수로 4와 -15를 고른 뒤, 12t²를 만들 수 있게 항을 나누었습니다.

12t² - 11t - 5
= 12t² + 4t - 15t - 5
= 4t(3t+1) - 5(3t+1)
= (4t-5)(3t+1)

학생은 마지막에 다시 전개하여 12t²+4t-15t-5=12t²-11t-5라고 설명했습니다. “곱이 -60이라는 조건만으로 고르지 않고, 합이 -11인지도 확인했고, 묶은 뒤 전개 결과가 처음 식과 같은지도 보았습니다”라는 말까지 스스로 덧붙였습니다. 괴정동중3수학과외에서 확인한 변화는 풀이량이 늘어난 것이 아니라, 부호가 섞인 식에서 인수를 선택하는 기준을 한 번도 놓치지 않았다는 점입니다.