괴정동 중2수학과외

부등호 방향을 바꾸는 순간을 찾아낸 풀이

괴정동과외 수업에서 학생이 가져온 일차부등식은 -3x+5≤14였다. 괴정동중2수학과외를 진행하며 확인한 것은 계산량이 아니라, 음수가 등장한 줄에서 학생이 어떤 판단을 먼저 세우는지였다.

답에서 거꾸로 확인한 첫 판단

학생은 노트에 다음과 같이 적었다.

-3x+5≤14
-3x≤9
x≤-3

계산 결과만 보면 두 번째 줄까지는 자연스러웠다. 학생은 5를 없애기 위해 양변에서 5를 뺐고, -3x≤9까지 정확히 만들었다. 그 뒤 손가락으로 -3을 가리킨 채 “x를 만들려면 3으로 나누면 되죠”라고 말했다. 바로 이 말에서 최초의 판단이 드러났다. 양변을 음수로 나누는 상황을 양수로 나누는 상황과 똑같이 처리하려 한 것이었다. 아직 최종 답이 틀렸다고 지적하기보다, 부호가 바뀌는 연산을 선택한 그 한 줄을 멈춰 세웠다.

계산은 유지하고, 부등호만 함께 움직이기

이미 맞게 처리한 첫 두 줄은 지우지 않았다. 학생이 -3x≤9를 다시 읽게 한 뒤, 양변을 -3으로 나누는 모습을 식 옆에 표시하게 했다. 왼쪽의 -3x가 x가 되려면 오른쪽 9도 -3으로 나누어야 하므로 계산은 9÷(-3)=-3이다. 여기서 등호가 아니라 부등호를 쓰고 있으므로, 음수로 나눌 때 두 수의 순서가 뒤집힌다는 점을 한 줄로 기록했다.

-3x≤9
x≥-3

교정은 여러 규칙을 덧붙이는 방식이 아니었다. 학생이 직접 “음수를 곱하거나 나누는 줄에서는 부등호 방향을 반대로 쓴다”는 기준 하나만 식 옆에 남겼다. 그다음 해의 범위를 수직선에 나타내며 -3에 빈 점을 찍고 오른쪽을 색칠했다. -3을 대입하면 -3(-3)+5=14이므로 경계가 포함되어야 하는지 원래 부등식의 ≤와도 대조했다. 경계값에서는 등호가 성립하므로 빈 점이 아니라실선 점이어야 한다는 것도 바로 고쳤다.

식이 아닌 문장과 그래프로 다시 적용하기

같은 숫자를 반복하지 않고 표현을 바꾸었다. “어떤 수 x에 -4를 곱한 값은 12보다 크지 않다”라는 문장을 먼저 부등식 -4x≤12로 옮기게 했다. 학생은 ‘크지 않다’에 밑줄을 그어 ≤를 선택하고, 음수 계수로 x를 분리하는 순간 부등호를 뒤집어 x≥-3이라고 썼다. 이번에는 식만 계산하지 않고 수직선에도 -3 이상을 표시했다.

다음 문제에서는 부등식이 아니라 수직선이 주어졌다. -2에 실선 점이 있고 오른쪽으로 화살표가 이어진 그림을 보고 학생은 먼저 x≥-2라고 말했다. 이어 이를 음수로 나눈 결과를 거꾸로 생각해 -2x≤4로 바꾸었다. 질문의 방향이 “해를 구하라”에서 “이 수직선과 대응하는 부등식을 만들어라”로 바뀌었지만, 학생은 경계점의 포함 여부와 방향을 각각 확인한 뒤 식을 세웠다.

힌트 없이 남은 한 줄을 스스로 점검하다

한 주 뒤 새 문제를 제시했다.

7-5x>22의 해를 구하고, 수직선에 나타내시오.

학생은 곧바로 7을 양변에서 빼서 -5x>15를 만들었다. 잠시 멈춘 뒤 -5가 음수임을 동그라미 치고, 나눌 때 방향을 바꿔 x<-3이라고 적었다. 이어 수직선에서 -3에는 빈 점, 왼쪽 방향에 화살표를 그렸다. “-3을 원래 식에 넣으면 22가 되지만 >는 아니므로 경계는 포함하지 않고, -4를 넣으면 27>22라서 왼쪽 해가 맞다”고 설명했다.

이번에는 누가 부호를 가리키거나 방향을 말해 주지 않았다. 학생은 첫 줄에서 음수 계수를 확인하고, 부등호를 뒤집을 이유를 말한 뒤, 경계값과 임의의 해를 원래 식에 대입해 검산했다. 음수로 나누는 순간의 판단이 식, 문장, 수직선이 달라져도 그대로 재현된 장면이었다.