가장동 중3수학과외







가장동 중3수학과외, 부호를 끝까지 확인하는 인수분해
가장동과외 수업에서 주말 복습 풀이를 함께 살펴보던 중, 한 학생이 완성된 인수분해 풀이를 뒤에서부터 읽으며 이상한 부분을 찾았습니다.
답에서 거꾸로 확인한 한 줄
문제는 다음 식을 인수분해하는 것이었습니다.
6x2 - x - 2
학생의 공책에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.
6x2 - x - 2
= (3x + 2)(2x - 1)
학생은 괄호 안의 상수 2와 -1을 곱하면 -2가 되고, 앞의 계수 3과 2를 곱하면 6이 되므로 맞다고 판단했습니다. 이후 괄호를 전개했을 때
(3x + 2)(2x - 1) = 6x2 + x - 2
가 되어 원식의 가운데 항인 -x와 달라졌지만, 학생은 계산을 다시 하는 데 집중하다가 최초 판단을 놓쳤습니다.
계산보다 먼저 틀어진 조건
완성 풀이를 뒤에서 읽으며 확인한 결과, 가장 먼저 어긋난 지점은 -2를 만드는 인수만 고르고, 가운데 항의 부호 조건은 확인하지 않은 것이었습니다. 인수분해에서 6x2의 두 계수는 3과 2로 나누어 생각할 수 있고, 가운데 항을 만들 두 수는 다음 두 조건을 모두 만족해야 합니다.
- 곱: 6 × (-2) = -12
- 합: -1
학생이 고른 2와 -1은 곱이 -2일 뿐, 3과 2를 곱한 값에 대응하는 두 수의 합 -1을 만들어 내지 못했습니다. 따라서 뒤의 전개 실수가 최초 원인이 아니라, 곱과 합 중 하나만 맞는 인수를 선택한 순간 풀이가 틀어진 것입니다.
한 번의 선택만 바로잡기
전체 풀이를 처음부터 다시 외우게 하지 않고, 인수를 고르는 줄만 고쳤습니다. 먼저 6과 -2를 곱해 -12를 얻고, 곱이 -12이면서 합이 -1인 두 수를 찾습니다.
3과 -4는 곱이 -12이고 합이 -1이므로 가운데 항을 다음처럼 나눌 수 있습니다.
6x2 - x - 2
= 6x2 + 3x - 4x - 2
= 3x(2x + 1) - 2(2x + 1)
= (3x - 2)(2x + 1)
학생이 이미 알고 있던 묶어 내기와 마지막 계산은 유지하고, 인수 선택 전에 곱과 합을 함께 적는 행동 하나만 추가했습니다. 마지막으로 전개하면 6x2 + 3x - 4x - 2 = 6x2 - x - 2이므로 원식과 일치합니다.
표로 바꾸어 본 독립 변형
다음에는 식을 바로 쪼개지 않고, 가운데 항을 채우는 표를 사용했습니다.
4y2 + 4y - 15
| 확인할 값 | 조건 |
|---|---|
| 앞뒤 항의 곱 | 4 × (-15) = -60 |
| 가운데 항 | 합이 4인 두 수 |
학생은 곱이 -60인 수 중 10과 -6을 골랐습니다. 합이 4이므로 조건을 모두 만족합니다.
4y2 + 4y - 15
= 4y2 + 10y - 6y - 15
= 2y(2y + 5) - 3(2y + 5)
= (2y - 3)(2y + 5)
이번에는 처음 문제와 달리 숫자만 바꾼 것이 아니라, 곱과 합을 표에 따로 기록한 뒤 가운데 항을 직접 완성하는 방식으로 표현했습니다. 학생은 -60이라는 곱만 보고 고르지 않고, 합 4까지 확인했습니다.
힌트가 사라진 뒤의 검증
마지막에는 도움 없이 다음 식을 제시했습니다.
8t2 + 2t - 3
학생은 먼저 8 × (-3) = -24를 적고, 곱이 -24이면서 합이 2인 6과 -4를 선택했습니다. 이어서
8t2 + 6t - 4t - 3
= 2t(4t + 3) - 1(4t + 3)
= (2t - 1)(4t + 3)
라고 설명했습니다. 검산에서도 (2t - 1)(4t + 3)을 전개해 8t2 + 6t - 4t - 3 = 8t2 + 2t - 3을 확인했습니다. 새 식에서도 학생은 먼저 곱과 합을 동시에 만족하는 인수를 선택했고, 전개 결과가 원식과 같은지 스스로 근거를 제시했습니다. 이것이 가장동중3수학과외에서 확인한 이번 인수분해 학습의 핵심입니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
중등 수학
개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.
중3 점검 기준
누적된 어휘·개념의 빈틈과 현재 진도를 나누어 점검하고, 새로운 문제에서도 풀이 기준이 유지되는지 확인합니다.
수업 진행 예시
문장 조건을 식으로 옮기기
어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.
괄호와 부호 확인하기
2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
중등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
| 중등 | 29~44만 원 | 26~40만 원 |
회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.
주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.
수업 이용에 관한 자주 묻는 질문
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