가장동 고2수학과외







정답이 맞아 보여도 먼저 정의역을 확인해야 한다
학생은 다음 식을 계산했다.
161/2 × 161/4 = 4 × 2 = 8
한편 지수의 덧셈법칙을 적용하면
161/2+1/4 = 163/4 = 8
두 결과가 같으므로 양의 실수 밑에서는
ar × as = ar+s
가 유리수 지수에서도 유지됨을 확인할 수 있다. 다만 이 계산만으로 밑과 지수에 조건이 없다고 결론 내리면 안 된다.
새 문항에서 드러난 오류
다음 주장은 잘못되었다.
“자연수 지수에서 성립하는 곱셈법칙은 모든 실수 밑과 모든 유리수 지수에서 항상 성립한다.”
예를 들어 (−16)1/2은 실수에서 정의되지 않는다. 그런데 (−16)1 = −16은 정의된다. 따라서 식의 한쪽이 실수로 정의되지 않는데도 법칙이 성립한다고 말할 수 없다.
적용 범위를 다시 정리하기
실수 범위에서 유리수 지수의 법칙을 안전하게 사용하려면 보통 밑을 a>0으로 둔다. 그러면 유리수 r, s에 대해 각 거듭제곱이 정의되고
ar × as = ar+s
가 성립한다. 밑이 음수이면 분모가 홀수인 지수처럼 일부 경우만 실수로 정의되므로, 각각의 정의 가능성을 따로 확인해야 한다. 밑이 0일 때에는 음의 지수나 00처럼 정의되지 않는 경우도 생긴다.
교정된 풀이의 최종 검증
가장동과외에서 이 유형을 점검할 때는 계산보다 먼저 세 가지를 확인한다.
- 각 거듭제곱이 실수 범위에서 정의되는가?
- 두 식의 밑이 같은가?
- 지수의 합을 적용한 뒤에도 결과가 정의되는가?
따라서 a>0이라는 조건이 주어진다면 법칙을 적용할 수 있지만, 조건 없이 “항상 성립한다”고 단정한 풀이는 틀리다. 핵심은 곱셈법칙 자체가 아니라 그 법칙을 사용할 수 있는 범위를 확인하는 것이다.