가장동 중2수학과외

부등식 풀이를 거꾸로 읽어 찾은 한 줄의 오류

가장동과외 수업에서 학생은 일차부등식 문제를 풀고 풀이 과정을 공책에 남겼다. 가장동중2수학과외에서 다룬 문제는 -3x+5≥14였다. 학생은 식을 읽자마자 상수항 5를 오른쪽으로 옮기고, 마지막에 음수로 나누는 과정을 적었다.

-3x+5≥14
-3x≥19
x≥-19/3

계산 줄마다 숫자와 부호를 표시했지만, 답을 확인하는 단계에서 수직선에 -19/3의 오른쪽을 색칠했다. 학생은 “19를 3으로 나누었고, 음수도 붙였으니 계산은 맞다”고 설명했다. 그러나 원래 식에 x=0을 넣으면 5≥14가 거짓이었다. 단순히 마지막 답만 고치는 대신, 완성된 풀이를 아래 줄부터 위로 읽게 했다.

답이 틀어지기 전의 첫 분기점

학생은 마지막 줄의 부호만 의심했지만, 풀이를 거꾸로 따라가며 두 번째 줄에서 이미 판단이 어긋났다는 사실을 확인했다. 5를 이항할 때 부호를 바꾸지 않고 19로 적은 것이 최초 오류였다. 14-5는 9이므로 바른 식은 다음과 같았다.

-3x+5≥14
-3x≥9

그 뒤에 -3으로 나눌 때는 부등호 방향을 바꿔야 한다. 따라서 x≤-3이 된다. 학생이 처음부터 음수 나눗셈을 놓친 것처럼 보였지만, 실제로는 이항 과정에서 숫자를 잘못 만들면서 뒤의 판단까지 함께 흐려진 경우였다.

이미 맞은 과정은 남기고, 어긋난 줄만 고치기

교정에서는 풀이 전체를 다시 외우게 하지 않았다. 학생이 사용한 “상수항을 한쪽으로 모은 뒤 미지수의 계수로 나눈다”는 흐름은 그대로 두고, 이항한 항의 부호만 원래 식과 대조했다. 공책에서 5를 동그라미로 묶은 뒤 오른쪽으로 옮기며 14-5=9라고 적게 했다.

그다음 학생은 -3x≥9에서 양변을 -3으로 나누는 순간, 나눗셈 기호 옆에 작은 화살표를 아래 방향으로 그렸다. 음수로 나누면 수직선에서 대소 관계가 뒤집힌다는 뜻으로, 부등호를 ≥에서 ≤로 바꾸는 한 줄만 직접 표시했다.

-3x≥9
x≤-3

검산도 양끝을 따로 넣었다. x=-3이면 -3×(-3)+5=14이므로 등호가 성립한다. x=-2이면 11이 되어 14 이상이 아니므로 해에 포함되지 않는다. 수직선에서는 -3에 닫힌 점을 찍고 왼쪽을 표시했다.

식이 아닌 문장과 수직선으로 다시 판단하기

같은 개념을 숫자만 바꾸지 않고 다른 형태로 제시했다. “어떤 수 x에 -4를 곱한 값에서 7을 뺀 수가 1보다 크지 않다”라는 문장을 식으로 바꾸고, 해를 수직선에 나타내게 했다.

학생은 먼저 -4x-7≤1이라고 적었다. -7을 오른쪽으로 옮길 때에는 부호를 바꾸어 -4x≤8로 정리했다. 이번에는 나눗셈 전에 부등호 옆에 ‘음수’라고 표시하고, x≥-2라고 답했다. 이어서 수직선의 -2에 닫힌 점을 찍고 오른쪽을 칠했다. “-4를 곱한 값이 커지려면 x는 더 작아져야 하므로, 나눌 때 방향이 반대가 된다”고 풀이 이유도 덧붙였다.

• 문장에서 식으로 바꿀 때 ‘크지 않다’를 ≤로 읽었다.
• 이항한 항의 부호를 원래 식과 다시 비교했다.
• 음수로 나눈 뒤 부등호 방향과 수직선 방향을 맞췄다.

힌트 없이 재현한 최종 확인

수업 끝에는 다음 문제를 별도 표시 없이 제시했다.

2-5x<-13

학생은 첫 줄 옆에 “2를 빼서 -5x<-15, 이제 음수로 나누므로 방향을 바꾼다”라고 적었다. 결과는 x>3이었다. 이어 x=4를 대입해 2-20=-18이 -13보다 작은지 확인했고, x=3을 넣으면 -13으로서 엄격한 부등식에 포함되지 않는다고 설명했다. 그래서 수직선에는 3에 열린 점을 찍고 오른쪽을 표시했다.

처음 오류였던 이항 부호와 음수 나눗셈을 서로 구분한 뒤, 새 문제에서도 첫 판단과 검산 근거를 스스로 말한 것이다.