수성구 중등수학과외

수성구중등수학과외, -2x<4에서 부등호 방향과 -2 포함 여부 확인하기

일차부등식에서 계산은 짧아 보여도 음수로 나누는 한 줄이 해의 범위를 완전히 바꿉니다. 예를 들어 -2x<4에서 구해야 하는 것은 x의 값의 범위입니다. 양변을 -2로 나누면 x와 4÷(-2)가 남지만, 나누는 수가 음수이므로 부등호도 함께 뒤집어야 합니다. 따라서 x>-2가 됩니다. 수성구중등수학과외 수업에서는 답만 고치기보다, 풀이에 적힌 두 줄 가운데 ‘-2로 나누는 순간’ 판단이 달라진 위치를 찾아 왜 방향이 바뀌는지 확인합니다.

음수로 나눈 줄에 부등호를 함께 표시하는 이유

-2x<4를 x<-2라고 적었다면, 계산의 나눗셈 결과보다 부등호 방향을 그대로 둔 점을 먼저 살핍니다. 양변에 음수를 곱하거나 음수로 나누면 수의 대소 관계가 반대로 바뀝니다. 이를 수직선으로 보면 큰 수와 작은 수의 위치가 0을 기준으로 뒤집히는 것과 연결됩니다. 그래서 풀이에는 “양변을 -2로 나눔 → <를 >로 변경”을 한 묶음으로 적습니다. 교사는 “양변을 음수로 나누면 대소 관계는 어떻게 달라질까?”라고 짧게 묻고, 학생이 방향 변화와 이유를 같은 줄에서 설명하는지 봅니다. 처음 쓴 식을 지우기보다 남겨 두면 어느 단계에서 수정이 필요한지 분명해집니다.

x>-2가 원래 부등식을 만족하는지 대입으로 확인하기

정답 x>-2에서 경계값 -2는 포함되지 않습니다. 실제로 x=-2를 원식에 넣으면 -2×(-2)<4, 즉 4<4가 되어 거짓입니다. 그러므로 -2에는 빈 동그라미를 찍고, -2보다 큰 쪽을 표시해야 합니다. 경계 오른쪽의 x=0을 대입하면 -2×0<4, 즉 0<4로 참이므로 표시 방향도 확인됩니다. 반대로 경계 왼쪽의 x=-3을 넣으면 6<4가 거짓입니다. 이렇게 경계와 양쪽 값을 확인하면 ‘부등호를 뒤집었다’는 규칙이 기호 암기에 그치지 않고, 실제 해의 범위와 맞는 판단인지 드러납니다.

비교 문제에서 등호가 바꾸는 경계 표시

도움 없이 비교할 문제는 -2x≤4입니다. 앞 문제와 계수와 오른쪽 수는 같지만, 처음 부등호에 등호가 포함되어 있다는 점이 다릅니다. 양변을 -2로 나누면서 방향을 뒤집으면 x≥-2가 됩니다. 여기서는 x=-2를 대입했을 때 4≤4가 참이므로 -2가 해에 포함됩니다. 수직선에는 -2에 채운 동그라미를 그리고 오른쪽으로 표시합니다. 수성구중등수학과외에서는 두 문제를 나란히 놓고 x>-2와 x≥-2의 차이를 ‘부등호 모양’만이 아니라 경계값 대입 결과로 비교합니다. 앞 문제에서는 4<4가 거짓이고, 비교 문제에서는 4≤4가 참이라는 차이가 경계의 빈 점과 채운 점을 결정합니다.

다음 확인에서는 학생이 먼저 -2로 나누는 줄과 바뀐 부등호를 스스로 쓰도록 합니다. 이어 “-2 자체는 각 부등식의 해에 포함될까?”에 원식 대입으로 답하게 합니다. 방향 변화는 설명하지만 경계 표시가 흔들린다면 두 원식에 x=-2를 각각 넣어 참·거짓을 다시 비교합니다. 반대로 말로는 방향을 설명해도 풀이에서 누락된다면, 음수로 나누는 화살표와 뒤집힌 부등호를 같은 줄에 적는 연습이 필요합니다. 두 조건을 근거와 함께 제시하고 -2x≤4를 독립적으로 표시할 수 있는지를 다음 단계의 확인 기준으로 삼습니다.