수성구 중3수학과외

수성구 중3수학과외에서 살펴본 제곱근의 두 값

대구광역시립수성도서관 인근 생활권에서 중3 학생의 풀이를 함께 확인했습니다. 수성구과외를 진행하며 이번 시간에 정한 범위는 하나의 양수에서 나오는 양의 제곱근과 음의 제곱근을 구별하는 것이었습니다. 수성구중3수학과외에서도 자주 만나는 내용이지만, 기호가 달라지면 두 값을 모두 써야 한다는 기준을 놓치기 쉽습니다. 대구동중학교가 포함된 생활권의 문제를 참고하되, 학교의 출제 경향을 추측하지 않고 실제 식의 읽기와 기록만 살폈습니다.

식보다 먼저 확인해야 했던 말

문제에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.

“제곱하여 49가 되는 두 수를 구하여라.”

학생은 문제의 ‘두 수’에 밑줄을 긋고, 머릿속으로 7×7=49를 확인한 뒤 풀이란에 다음과 같이 적었습니다.

49의 제곱근은 7이다.
따라서 답은 7.

계산 자체에는 문제가 없었습니다. 7을 제곱하면 49가 되기 때문입니다. 그러나 학생은 ‘제곱하여 49가 되는 두 수’라는 표현을 읽고도 7만 기록했습니다. 여기서 확인할 대상은 49의 제곱근을 대표하는 양의 값 하나가 아니라, 제곱해서 같은 양수가 되는 두 값이었습니다.

처음 어긋난 판단을 한 줄만 고치기

풀이 전체를 다시 쓰게 하지 않고, 처음 적은 7은 그대로 두었습니다. 대신 7과 함께 제곱 결과가 같은 반대 부호의 수를 나란히 적도록 했습니다.

• 7²=49
• (-7)²=49

따라서 49를 제곱해서 얻는 두 수는 7과 -7입니다. 이때 ‘√49=7’이라는 표현과 ‘제곱해서 49가 되는 수’라는 표현을 구분했습니다. 앞의 표현은 양의 제곱근을 가리키지만, 뒤의 표현은 제곱 결과가 49가 되는 두 수를 묻습니다. 학생이 이미 확인한 7의 계산은 유지하고, 빠졌던 -7만 같은 기준으로 복원한 것입니다.

학생은 이어서 숫자를 바로 외우지 않고 말로 점검했습니다.

“49를 만드는 제곱값은 부호가 달라도 같으므로, 양의 값과 음의 값을 함께 써야 한다.”

이 문장을 적은 뒤 답을 {7, -7}로 고쳤습니다. 중요한 것은 기호를 무조건 붙이는 것이 아니라, 문제에서 ‘두 수’를 요구했고 두 값이 실제로 같은 양수를 만든다는 점을 확인한 것입니다.

표현을 바꾼 새 문제에서 기준 세우기

다음에는 숫자만 바꾼 식을 주지 않고, 문장과 식의 모양을 바꾸었습니다.

수직선에서 어떤 수를 두 번 곱했을 때 121이 된다. 가능한 수를 모두 쓰고, √121과의 관계를 설명하여라.

학생은 먼저 수직선의 오른쪽 값과 왼쪽 값을 임의로 표시하지 않았습니다. “어떤 수를 두 번 곱한 결과가 121”이라는 조건에 표시한 뒤, 다음처럼 두 경우를 세웠습니다.

• 11×11=121
• (-11)×(-11)=121

그리고 √121은 양의 제곱근이므로 11이라고 썼습니다. 가능한 수 전체는 11과 -11이며, 그중 √121과 같은 값은 11이라고 구분했습니다. 처음 문제의 숫자나 배열을 그대로 반복하지 않고, 문장 조건과 제곱근 기호가 함께 제시된 상황에서도 같은 세부 기준을 적용한 것입니다.

힌트 없이 확인한 마지막 기록

수업 마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다.

어떤 양수 A에 대하여 x²=A를 만족하는 두 실수를 x와 -x라고 할 때, A=169이면 x의 두 값을 구하여라. 또 √169를 한 값으로 나타내어라.

학생은 먼저 13²=169를 계산하고, 곧바로 “두 값”이라는 조건에 맞춰 x=13 또는 x=-13을 적었습니다. 이어 √169=13이라고 따로 기록했습니다. 마지막으로 각각을 제곱해 보였습니다.

• 13²=169
• (-13)²=169

두 검산 결과가 모두 169이므로 두 값이 조건을 만족한다고 설명했습니다. 또한 제곱근 기호의 값은 양의 제곱근인 13 하나라고 덧붙였습니다. 처음처럼 양의 값만 적지 않고, 문제의 표현이 묻는 대상이 ‘양의 제곱근 하나’인지 ‘제곱해서 같은 양수가 되는 두 수’인지 스스로 구별한 장면이었습니다.