대구북구 중등수학과외

대구북구중등수학과외, 12개·18개 묶음과 12초·18초 신호를 식으로 확인하기

12개와 18개를 남김없이 같은 구성으로 나누되 ‘최대한 많은 묶음’을 만드는 문제에서는 무엇을 구해야 할까요? 답은 6묶음이며, 한 묶음에는 12÷6=2개와 18÷6=3개가 들어갑니다. 반면 12초와 18초마다 반복되는 두 신호가 동시에 시작한 뒤 다시 겹치는 때는 36초입니다. 두 문제 모두 12와 18을 사용하지만, 앞문제는 각 수를 나누어떨어지게 하는 묶음 수를, 뒷문제는 두 주기의 공통 배수를 찾는 문제입니다. 대구북구중등수학과외에서는 답만 비교하기보다 학생이 쓴 식의 어느 줄에서 판단이 바뀌었는지 살펴보며 이 차이를 바로잡습니다.

‘최대한 많은 묶음’은 12와 18의 공약수에서 찾습니다

기본 문제의 조건은 두 종류의 물건을 남기지 않고, 모든 묶음을 같은 구성으로 만드는 것입니다. 따라서 묶음 수는 12도 나누고 18도 나누어야 합니다. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이고, 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18입니다. 공통으로 가능한 수는 1, 2, 3, 6이며, 이 가운데 가장 큰 수가 6입니다. 그래서 최대공약수는 6, 즉 만들 수 있는 최대 묶음 수는 6묶음입니다.

‘두 수의 공배수’를 적었다면 계산 실수라기보다 질문의 대상이 바뀐 경우일 수 있습니다. 공배수는 12와 18을 모두 나누는 수가 아니라, 12와 18의 배수가 되는 수입니다. 수업에서는 ‘묶음 수는 각각의 물건 수를 나누어떨어지게 하나요?’라고 짧게 확인하고, 6 아래에 12÷6=2, 18÷6=3을 나란히 씁니다. 이 표시를 통해 6은 묶음 수이고 2개와 3개는 한 묶음 안의 구성이라는 관계가 드러납니다. 검산도 6×2=12, 6×3=18로 원래 물건 수가 복원되는지 확인합니다.

같은 수라도 반복 주기에서는 최소공배수가 필요합니다

비교 문제는 두 신호가 12초마다, 18초마다 반복될 때 처음 다시 겹치는 시각을 묻습니다. 이번에는 신호가 울리는 시각이 각각 12의 배수와 18의 배수여야 합니다. 12의 배수는 12, 24, 36, 48…이고, 18의 배수는 18, 36, 54…입니다. 처음 공통으로 나타나는 시각은 36초이므로 최소공배수는 36입니다.

36초가 맞는지는 시간 조건으로 다시 확인할 수 있습니다. 36÷12=3이므로 첫 신호는 세 번째 반복 시각이고, 36÷18=2이므로 둘째 신호는 두 번째 반복 시각입니다. 두 나눗셈의 나머지가 모두 0이어서 36초에는 두 신호가 함께 울립니다. 12초나 18초는 한 신호만 반복된 때이고, 24초도 18로 나누어떨어지지 않으므로 함께 겹치는 때가 아닙니다.

풀이 두 줄에서 판단 근거를 남겨 다음 문제를 확인합니다

교정할 때는 수정 전 식을 지우기보다, ‘12와 18을 나누는 수’와 ‘12와 18의 배수’를 각각 적어 판단 이유를 붙입니다. 기본 문제에는 ‘6묶음, 한 묶음당 2개와 3개’라고 써서 나눗셈 관계를 남기고, 신호 문제에는 12의 배수와 18의 배수 목록을 비교해 36초에 표시합니다. 이렇게 하면 같은 숫자를 보고도 공약수와 공배수 중 무엇을 선택했는지 확인할 수 있습니다.

다음에는 도움 없이 두 문제를 다시 풀며, 묶음 문제에서는 각 물건 수를 묶음 수로 나눈 식을, 주기 문제에서는 두 주기로 나누어떨어지는 시각을 제시하는지 봅니다. ‘묶음 수는 각각의 물건 수를 나누어떨어지게 하나요?’와 ‘신호가 다시 겹치는 시각은 두 주기의 배수인가요?’에 식으로 근거를 말할 수 있는지를 확인하면, 6묶음과 36초를 단순히 외운 답이 아니라 서로 다른 조건에 맞춘 판단으로 점검할 수 있습니다.