대구북구 중1수학과외
곱셈 형태를 끝까지 확인하는 소수와 합성수 풀이
대구북구의 대구태전휴먼시아1단지와 칠곡주공그린빌3단지가 있는 생활권에서 중1 수학 학습을 이어 가던 학생은 학교 학습지의 소수와 합성수 문제를 풀다가 한 줄에서 판단이 흔들렸다. 대구일중학교가 포함된 생활권의 학습 사례였지만, 핵심은 학교가 아니라 수를 어떤 곱으로 나타낼 수 있는지 확인하는 과정이었다. 대구북구과외 수업에서는 답을 바로 고치기보다 학생이 실제로 적은 식을 거꾸로 따라갔다.
답보다 먼저 나타난 한 줄
문제에는 1, 2, 9, 13, 17, 21이 제시되어 있었고, 각 수를 소수와 합성수로 구분하라고 했다. 학생은 공책에 다음처럼 표시했다.
- 1: 소수
- 2: 소수
- 9: 3×3
- 13: 소수
- 17: 소수
- 21: 3×7
9와 21에는 곱셈식을 써서 합성수로 분류했지만, 1에는 ‘약수가 하나뿐이므로 소수’라고 적었다. 여기서 결과가 틀린 것이 아니라, 소수의 조건을 확인하기 전에 약수의 개수만 대충 세어 소수라고 판단한 것이 최초의 어긋남이었다. 소수는 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수인데, 학생은 ‘약수가 하나’라는 표현을 조건에서 빠뜨렸다.
첫 판단을 곱셈으로 되돌리기
교정할 때 2, 9, 13, 17, 21에 대한 계산 방식은 그대로 두고, 1의 조건만 다시 세웠다. 공책 왼쪽에 ‘1보다 큰가?’를 적은 뒤 1 옆에 ‘아니다’라고 표시했다. 이어서 소수와 합성수를 판별하는 순서를 다음처럼 정리했다.
먼저 1보다 큰 자연수인지 확인한다. 그다음 1과 자기 자신 이외의 곱으로 나타나는지 살펴본다.
학생은 1을 억지로 곱셈 형태로 만들지 않고, 1은 소수도 합성수도 아니라고 수정했다. 9는 3×3으로 나타나며 1과 9 이외의 약수 3을 가지므로 합성수, 21은 3×7로 나타나므로 합성수라고 다시 설명했다. 13과 17은 1과 자기 자신 외의 곱으로 만들 수 없으므로 소수라고 구분했다. 이때 ‘합성수는 서로 다른 두 수의 곱이어야 한다’고 잘못 넓히지 않도록 9처럼 같은 수를 두 번 곱한 경우도 합성수임을 함께 확인했다.
같은 개념을 다른 모양으로 다시 읽기
다음 활동에서는 숫자를 직접 분류하는 대신, 곱셈식이 표로 제시되었다.
- 2×11
- 3×5
- 1×19
- 4×4
- 1×23
학생은 처음에 ‘두 수를 곱했으니 모두 합성수’라고 말하려 했지만, 이번에는 식을 계산한 뒤 그 결과가 1보다 큰지, 다른 곱셈 형태가 가능한지를 차례로 적었다. 2×11은 22, 3×5는 15, 4×4는 16이므로 각각 합성수로 분류했다. 1×19는 결과가 19이지만 19를 1과 19 이외의 자연수의 곱으로 나타낼 수 없으므로 소수였다. 1×23도 같은 이유로 소수였다.
질문도 바꾸었다. ‘이 수는 소수인가?’가 아니라 ‘이 곱셈식에서 1과 자기 자신 외의 인수를 찾을 수 있는가?’라고 물으니, 학생은 식의 모양에 끌려가지 않고 결과와 인수를 분리해 살폈다. 1×19에서 1은 인수이지만, 이 식만으로 19를 합성수라고 할 수 없다는 점도 직접 표시했다.
인수와 지수로 확장한 재풀이
학습지 뒤쪽에는 24를 2³×3으로 나타내라는 문항이 있었다. 학생은 지수 3을 보고 24가 소수와 관련된 특별한 수라고 생각했지만, 교사는 지수의 모양보다 인수의 의미를 먼저 묻게 했다. 학생은 2³을 2×2×2로 펼쳐서 24=2×2×2×3이라고 썼다. 이어 24는 1과 24 외에도 2, 3, 4, 6, 8, 12를 인수로 가지므로 합성수라고 결론 냈다.
이 과정에서 지수는 같은 인수 2가 세 번 곱해졌다는 간단한 표시일 뿐, 소수 여부를 대신 판단하는 기호가 아니라는 점을 확인했다. 13을 13¹처럼 쓸 수 있어도 13의 인수가 1과 13뿐이라는 사실은 변하지 않는다.
힌트 없이 다시 세운 판단
수업 끝에는 칠판의 풀이를 가린 뒤, 학생이 새 조건을 혼자 읽었다. ‘다음 중 소수만 골라 이유를 쓰시오: 1, 7, 15, 29, 31.’ 학생은 먼저 1에 선을 긋고 ‘1보다 크지 않으므로 제외’라고 썼다. 15는 3×5, 29와 31은 다른 자연수의 곱으로 만들 수 없다고 적었으며, 7도 1과 7 이외의 인수를 찾을 수 없다고 설명했다.
마지막으로 학생은 15를 다시 3×5로 되돌려 원래 수와 일치하는지 확인하고, 7·29·31은 가능한 곱셈 형태가 1×자기 자신뿐인지 점검했다. 답만 나열하지 않고 ‘먼저 1보다 큰지 보고, 그다음 1과 자기 자신 이외의 인수가 있는지 확인했다’고 풀이 이유를 말한 것이다. 대구북구중1수학과외에서 확인한 변화는 새로운 공식을 외운 데 있지 않고, 첫 판단을 조건과 곱셈으로 되돌려 스스로 검증한 데 있었다.