지수의 확장: 자연수 지수에서 정수 지수로

학생 풀이 기록

\(a^3 \div a^3=a^{3-3}=a^0\)이고, 한편 같은 수를 나누므로 \(a^3 \div a^3=1\)이다. 따라서 \(a^0=1\)이다. 그런데 \(a^{-2}\)는 그냥 새로 정한 값이므로 \(a^{-2}=\frac{1}{a^2}\)라고 외워 쓰면 된다.

계산 결과는 맞지만, 마지막 설명에는 중요한 빈틈이 있다. 음의 지수는 임의로 붙인 규칙이 아니라 기존 지수법칙을 계속 유지하기 위해 결정된다. 이 연결을 설명하지 못한 것이 풀이가 어긋난 첫 지점이다.

나눗셈에서 0지수와 음의 지수 얻기

0지수의 결정

밑 \(a\)가 0이 아닌 경우를 생각하자.

\[ \frac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0 \]

왼쪽은 0이 아닌 수를 자기 자신으로 나눈 값이므로 \(1\)이다. 따라서

\[ a^0=1 \qquad (a\ne0) \]

음의 지수의 결정

이번에는 \(m>n\)인 자연수 \(m,n\)에 대해 지수법칙을 적용한다.

\[ \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} \]

분수로 계산하면

\[ \frac{a^n}{a^m}=\frac{1}{a^{m-n}} \]

따라서 \(n-m=-(m-n)\)인 경우에도 법칙이 유지되려면

\[ a^{-k}=\frac{1}{a^k}\qquad (a\ne0,\ k\in\mathbb N) \]

이어야 한다. 즉 음의 지수는 새로운 규칙을 외우는 것이 아니라, 지수의 차 법칙을 유지한 결과다.

정수 지수가 섞인 식 확인하기

예를 들어 \(2^{-3}\)은

\[ 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18 \]

이 정의가 기존 법칙과 맞는지 확인하면

\[ 2^4\cdot2^{-3}=2^{4+(-3)}=2^1=2 \]

실제로 계산해도

\[ 16\cdot\frac18=2 \]

또한

\[ \frac{3^{-2}}{3^{-5}}=3^{-2-(-5)}=3^3=27 \]

이고, 직접 계산하면

\[ \frac{\frac19}{\frac1{243}}=27 \]

확장 여부를 판단하는 질문

다음 두 질문에 답할 수 있으면 단순 암기를 넘어선 것이다.

• 왜 \(a^0=1\)이어야 하는가?
• 왜 \(a^{-n}=\frac1{a^n}\)이어야 하는가?

답은 모두 “기존의 지수법칙을 정수 지수에서도 유지하기 위해서”이다. 단, \(a^{-n}\)은 \(a\ne0\)일 때만 정의된다. \(0\)의 음의 지수는 분모가 0이 되므로 실수 범위에서 정의되지 않는다.

대구 북구의 대구국제고등학교나 학남고등학교 주변에서 문제를 복습할 때도 정의 자체보다 그 정의가 나온 이유를 식으로 역추적해 보자. 새로운 식에 정수 지수가 섞여도 같은 법칙을 적용할 수 있는지 스스로 검증하는 것이 핵심이다.