대구북구 중3수학과외

대구북구 중3수학과외, 제곱해서 원래 수가 되는 값부터 확인하기

대구태전휴먼시아1단지와 화성센트럴파크가 있는 생활권에서 중3 수학 풀이를 살펴보면, 제곱근 문제는 계산보다 첫 판단에서 답이 갈리는 경우가 많습니다. 대구북구과외 수업에서도 학생이 마지막 계산은 정확히 했지만, 출발점에서 ‘제곱해서 원래 수가 되는 값’이라는 뜻을 확인하지 않아 오답이 이어진 사례가 있었습니다. 대구일중학교가 포함된 생활권에서 진행한 한 풀이를 통해 그 장면을 구체적으로 살펴보겠습니다.

답에서 거꾸로 읽었더니 보인 첫 갈림길

문제는 다음과 같았습니다.

제곱해서 49가 되는 수를 모두 구하고, 그중 양의 제곱근을 쓰시오.

학생의 오답노트에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.

49의 제곱근은 7이다.
7²=49
따라서 답은 7

겉으로 보면 7²=49라는 계산은 맞습니다. 그러나 풀이를 완성한 뒤 거꾸로 읽어 보니, 학생은 ‘제곱해서 49가 되는 값’을 찾기 전에 숫자 49에서 익숙한 7만 바로 골랐습니다. 제곱근의 뜻은 어떤 수를 제곱했을 때 주어진 수가 되는 값입니다. 따라서 7만 적기 전에 -7도 같은 조건을 만족하는지 확인해야 했습니다.

오류가 시작된 지점은 뒤의 계산이 아니었습니다. 후보를 제곱해 원래 수와 같은지 확인하지 않고, 양수 후보 하나를 제곱근으로 결정한 판단이 가장 먼저 어긋난 부분이었습니다. 실제로 (-7)²도 49이므로, ‘제곱해서 49가 되는 수’는 7과 -7입니다. 다만 문제에서 양의 제곱근을 따로 물었으므로 마지막에 7을 선택해야 합니다.

풀이를 늘리지 않고 후보 확인만 바꾸다

교정할 때 전체 풀이를 다시 베껴 쓰게 하지 않았습니다. 처음 결정하기 직전의 행동 하나만 바꾸었습니다. 주어진 수 49를 보고 후보를 하나만 고르는 대신, 부호가 다른 두 수를 나란히 적고 각각 제곱하게 했습니다.

• 7을 제곱하면 7²=49
• -7을 제곱하면 (-7)²=49

두 값 모두 ‘제곱해서 49가 되는 값’이라는 뜻에 맞습니다. 이후 문제의 질문을 다시 읽어 ‘양의 제곱근’만 7이라고 정리했습니다. 이미 맞았던 7²=49 계산은 그대로 두고, 그 앞에 빠져 있던 -7의 확인만 더한 것입니다. 제곱근을 판단하는 기준을 숫자의 모양이 아니라 제곱 결과로 바꾼 셈입니다.

표현을 바꾼 문제에서 같은 기준 세우기

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 식이 아니라, 조건의 위치를 바꾼 문제를 제시했습니다.

수직선에 표시된 두 수 A와 B가 있다. A²=16, B는 음수이고 B²=16일 때, A와 B의 값을 각각 구하여라.

학생은 먼저 ‘제곱해서 16이 되는 값’을 찾기 위해 후보를 생각했습니다. 4²=16, (-4)²=16이므로 가능한 값은 4와 -4라고 적었습니다. 그다음 A에는 부호 조건이 없으므로 A=4 또는 A=-4가 될 수 있고, B는 음수라는 조건이 있으므로 B=-4라고 구분했습니다.

이 문제에서는 단순히 답을 외워 쓰지 않고, 각 값이 실제 조건을 만족하는지 확인했습니다. A에 4를 넣으면 4²=16, A에 -4를 넣어도 (-4)²=16입니다. B에 -4를 넣으면 B²=16이며 음수라는 조건도 만족합니다. 반면 B=4는 제곱 결과는 같지만 ‘B는 음수’라는 조건에 맞지 않습니다. 숫자 배열이나 기호의 위치가 달라져도 먼저 제곱 결과를 확인하고, 그다음 문제에 제시된 부호 조건을 적용한 것입니다.

힌트 없이 다시 확인한 마지막 풀이

마지막에는 도움을 주지 않고 다음 문제를 풀게 했습니다.

제곱하여 81이 되는 수 중 음수가 아닌 수를 구하여라.

학생은 풀이 첫 줄에 “제곱해서 81이 되는 후보를 찾는다”고 적고, 9²=81과 (-9)²=81을 확인했습니다. 이어서 “음수가 아닌 수는 9이므로 답은 9”라고 설명했습니다. 검산도 스스로 진행했습니다. 9를 제곱하면 81이 되어 조건을 만족하고, -9는 제곱 결과는 같지만 ‘음수가 아닌 수’라는 조건에서 제외된다고 밝혔습니다.

이번 검증의 핵심은 답 9를 맞힌 사실이 아닙니다. 새 수가 나오고 질문의 표현이 달라져도, 먼저 후보를 제곱하여 원래 수가 되는지 확인한 뒤 조건에 맞는 값을 고르는 과정을 혼자 재현했다는 점입니다. 대구북구중3수학과외에서는 이처럼 제곱근의 뜻을 계산 전 기준으로 삼아, 오답이 생긴 최초 판단부터 짧고 정확하게 바로잡습니다.