대구남산동 중2수학과외

거듭제곱을 다시 거듭제곱할 때 지수를 곱하는 과정

경구중학교가 포함된 생활권의 문제를 풀던 중이었지만, 학교의 시험 경향을 가정하지 않고 학생이 실제로 적은 식과 판단만 따라가며 풀이를 살폈다.

식보다 먼저 확인했어야 할 기호

문제는 (-2³)²와 같은 식을 정리하는 것이었다. 학생은 왼쪽의 밑을 먼저 계산하려고 종이에 -2³ = -8이라고 적고, 이어서 (-8)² = 64를 계산했다. 이 과정 자체는 괄호가 있는 식을 정확히 읽은 경우에는 맞는 계산이었다.

하지만 다음 문제 (-2)³에서는 괄호를 표시하지 않은 채 -2³ = 8이라고 적었다. 음수를 밑으로 볼지, 거듭제곱 결과 앞에 음수 기호가 붙은 것으로 볼지 구분하지 않은 것이 결과가 틀어지기 전의 첫 판단이었다. 학생은 이후 지수만 곱해 -2⁶이라고 썼지만, 실제로는 밑을 읽는 단계에서 이미 식의 모양을 잘못 해석한 상태였다.

거듭제곱을 계산하기 전에 밑 전체가 괄호 안에 있는지 먼저 표시한다.

한 가지 기준으로 바로잡기

교정에서는 계산 순서를 모두 바꾸지 않고, 첫 줄에서 밑과 지수를 분리해 적는 방법 하나만 남겼다. 학생은 (-2)³에 밑은 -2, 지수는 3이라고 표시했다. 따라서 세 번 곱하는 식은 (-2)×(-2)×(-2)=-8이 된다. 반대로 -2³은 밑이 2이고 앞에 음수 기호가 있는 식이므로 -(2×2×2)=-8이다.

두 식의 값이 우연히 같을 때도 있지만, 짝수 지수에서는 차이가 분명해진다. 학생은 (-2)²=4와 -2²=-4를 나란히 적어 괄호가 단순한 장식이 아니라 밑의 범위를 결정한다는 점을 확인했다. 그 뒤 (a^m)ⁿ을 볼 때에도 먼저 안쪽 거듭제곱의 밑을 확인하고, 같은 밑을 반복해서 거듭제곱하는 구조인지 살폈다. 안쪽 식을 n번 곱하면 지수는 m이 n번 더해져 m×n이 되므로 (a^m)ⁿ=a^mn으로 정리했다.

표현이 달라진 문제에 적용하기

다음에는 숫자만 바꾼 식이 아니라 문장으로 제시된 문제를 사용했다. “어떤 수 x의 세제곱을 다시 두 번 곱한 값”이라는 문장을 읽은 학생은 먼저 (x³)²라고 식으로 옮겼다. 이어 지수의 의미를 “x가 세 번씩 들어 있는 묶음이 두 개”라고 말하고, x^3×2=x⁶으로 바꾸었다.

이번에는 질문의 방향도 바꾸어 (y⁴)^k=y¹²에서 k를 찾게 했다. 학생은 지수를 더하는 것이 아니라 안쪽 지수 4와 바깥 지수 k를 곱해야 한다고 먼저 설명한 뒤 4k=12를 세워 k=3을 얻었다. 부호가 포함된 ((-b)²)³에서는 밑 전체가 -b임을 표시하고, (-b)⁶으로 정리했다. 짝수 지수라 결과의 부호가 양수가 된다는 검산도 덧붙였다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

다음 수업에서 학생은 도움 없이 ((-3)²)⁴를 받자 곧바로 밑에 괄호를 긋고, “밑은 -3이고 안쪽 지수 2에 바깥 지수 4를 곱한다”고 말했다. 그래서 (-3)⁸으로 정리한 뒤, 원식은 ((-3)×(-3))이라는 묶음을 네 번 곱하는 식이므로 양수가 되고, 정리식도 지수가 8인 짝수 거듭제곱이라 양수가 된다고 설명했다.

마지막 검산에서는 3 대신 2를 대입해 원식 ((-2)²)⁴와 정리식 (-2)⁸의 값을 각각 계산해 같음을 확인했다. 학생은 단순히 답을 맞혔다고 하지 않고, “먼저 밑 전체를 확인하고, 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱한 뒤 작은 수를 넣어 두 식을 비교한다”고 자신의 첫 행동과 검산 근거를 스스로 설명했다. 이러한 장면이 대구남산동과외 및 대구남산동중2수학과외에서 확인하고자 한 독립적인 재현이었다.