대구남산동 고3수학과외

로그부등식에서 멈출 곳을 정하는 연습

시험 종료까지 20분 남은 시점, 학생은 직접답형 로그부등식 앞에서 풀이를 시작할지 잠시 판단했다. 식은 log₂(x-1) > log₂(5-x)였다. 계산 자체는 길지 않아 보였지만, 앞 문항에서 한 문제에 오래 머문 경험이 있어 첫 30초 안에 풀이 가능성과 확인할 조건을 함께 살피기로 했다. 대구남산동 생활권에서 진행한 대구남산동고3수학과외에서도 이처럼 풀이 착수보다 먼저 어떤 조건을 확인할지 정하는 장면을 중요하게 다뤘다.

경계값보다 먼저 적어야 했던 것

처음 학생이 적은 식은 곧바로 로그의 진수를 비교하는 형태였다.

“x-1 > 5-x 이므로 x>3.”

결론 자체는 일부 맞았지만, 최초의 어긋남은 비교가 아니라 정의조건을 쓰지 않은 채 구간을 넓혀 버린 것이었다. 로그가 존재하려면 x-1>0, 5-x>0이므로 먼저 1<x<5를 확보해야 한다. 이 조건을 빠뜨리면 계산 결과 x>3만 남아 x=6 같은 허용되지 않는 값까지 답처럼 보일 수 있다. 학생은 이 문제에서 계산을 틀린 것이 아니라, 답의 범위를 결정하는 출발점을 건너뛴 셈이었다.

교정은 복잡하지 않게 제한했다. 첫 줄 오른쪽에 바로 진수 조건: 1<x<5를 적고, 그다음 밑이 1보다 큰 로그라는 사실을 확인한 뒤 x-1>5-x를 풀도록 했다. 따라서 x>3과 1<x<5를 겹치면 답은 3<x<5이다. 경계값 3을 직접 원식에 넣으면 두 로그가 같아져 엄격한 부등식을 만족하지 않는다. 반면 5는 로그의 진수가 0이 되므로 애초에 포함할 수 없다.

중단 기준을 답의 구조에 연결하기

학생은 풀이 중간에 ‘정의조건, 비교식, 경계 확인’ 세 줄이 완성되면 일단 다음 문항으로 이동한다는 기준을 세웠다. 이 문제에서 그 기준에 도달한 뒤에도 같은 식을 여러 번 정리하지 않고, 답의 양 끝점만 점검했다. 남은 시간에 다시 돌아왔을 때는 치환이나 변형된 식을 믿고 넘어가지 않고 원래 식에 후보를 대입했다. 후보 4는 두 진수가 각각 3이므로 부등식을 만족하고, 후보 3은 등호가 되어 탈락한다. 이렇게 확인하면 검산 때문에 풀이 전체를 다시 시작하지 않아도 된다.

주말 100분 실전 세트에서는 끝점과 내부 경계가 한눈에 보이도록 작은 표를 만들었다.

• 정의역: 1<x<5
• 비교에서 생긴 경계: x=3
• 허용 구간: (3, 5)

표를 만든 뒤에는 답만 적지 않고 “정의조건으로 범위를 제한한 뒤, 밑이 1보다 커 비교 방향을 유지했다”라고 근거를 한 문장으로 남겼다. 이는 대구남산동고3수학과외에서 직접답형 문항을 연습할 때도 유용한 방식이다. 보기에서 정답을 고르는 상황이 아니므로, 어떤 후보를 왜 버렸는지가 풀이의 일부가 되기 때문이다.

문항 순서와 조건이 달라졌을 때

다음 세트에서는 시간을 절반으로 줄이고 문항 순서도 바꾸었다. 새 문제는 log_1/2(x+2) ≤ log_1/2(4-x)였다. 숫자만 바꾼 반복문제가 아니라 밑이 0과 1 사이인 형태로 바꾸어, 이전 판단을 외워 풀 수 없게 했다.

학생은 먼저 x+2>0, 4-x>0에서 -2<x<4를 적었다. 이어 밑이 1/2이므로 로그함수가 감소한다는 근거를 표시해 x+2≥4-x로 부등호 방향을 바꾸었다. 계산하면 x≥1이고, 정의역과 합치면 [1,4)이다. x=1은 두 로그가 같으므로 포함되며, x=4는 진수 0 때문에 제외된다. 여기서 학생은 1을 내부 임계점이 아니라 포함되는 경계로 분류했다.

풀이가 40초를 넘기면 일단 표시하고 다음 문항으로 이동한 뒤, 재진입할 때는 표시한 줄에서 다시 계산하지 않고 정의조건부터 확인하기로 했다. 실제로 중간식 한 줄을 가린 재구성 문제에서도 학생은 빈칸에 계산을 억지로 복원하지 않았다. 먼저 두 진수의 양수 조건을 후보 구간 옆에 적고, 밑의 범위에 따라 방향이 달라진다는 첫 식의 근거를 스스로 설명했다.

마지막 확인에서 학생이 유지한 것은 정답이 아니라 순서였다. 로그부등식을 보면 정의조건을 먼저 세우고, 밑의 범위를 확인한 뒤, 경계값을 원식에 대입한다. 세 단계가 끝나면 체류를 멈추고 다른 문항으로 이동하며, 다시 돌아왔을 때는 후보를 버린 이유와 포함 여부부터 확인한다. 문제의 그래프 정보가 일부 가려져도 이 기준이 흔들리지 않았고, 처음의 오류였던 ‘정의조건 생략’도 다시 나타나지 않았다.