대구남산동 고등수학과외

대구남산동 고등수학과외에서 이차부등식을 다룰 때는 계산 속도보다 표현이 바뀌어도 부호 구간을 잃지 않는 풀이가 중요하다. 경북여자고등학교 학생은 해의 개수를 묻는 문제에서 \(a=12\)를 대입한 뒤, 인수의 부호가 달라지는 지점을 한 줄로 정리하려 했다. 남산자이하늘채와 보성황실타운 인근 생활권에서 공부하는 학생들이 자주 이용하는 방식처럼, 풀이 옆에 짧은 메모를 남기는 습관은 유용했지만 이번에는 그 메모의 위치가 첫 오류를 만들었다.

해의 개수보다 먼저 확인한 것

문제의 식을 \((x-2)(x+3)\leq 0\)처럼 정리할 수 있다고 하자. 두 근은 \(-3, 2\)이고, 이차항의 계수는 양수다. 따라서 수직선에서 구간은 세 부분으로 나뉜다. 왼쪽에서는 양수, 가운데에서는 음수, 오른쪽에서는 양수가 된다. 해의 개수나 조건을 묻는 문제에서는 이 배열을 먼저 세워야 한다.

학생은 \(a=12\)를 대입한 뒤 “근 사이에서 부호 변화, 양 끝은 제외”라고 적었다. 여기서 첫 실수가 나타났다. 부등호가 \(\leq\)인데도 근을 제외한다고 기록한 것이다. 계산 자체는 맞았지만, 정의역과 해집합을 구분하지 않은 채 부호 변화 메모를 해의 포함 여부까지 대신하도록 만든 것이 문제였다.

첫 오류가 생긴 순간을 다시 표시하기

교정할 때는 식 전체를 다시 풀게 하지 않고, 오류가 발생한 줄에 표시를 남겼다. 두 근은 부호가 바뀌는 경계점이지만, 경계점의 포함 여부는 부등호가 결정한다. 따라서

\[ (x-2)(x+3)\leq 0 \]

에서는 \(-3\leq x\leq2\)가 된다. 점 \(-3\)과 \(2\)에서 식의 값은 각각 0이므로 해에 포함된다. 학생은 수직선에 두 점을 먼저 찍고, 구간별 대표값으로 부호를 확인한 다음, 마지막에 부등호를 다시 읽었다. ‘부호가 바뀌는 점’과 ‘해집합에서 포함되는 점’을 서로 다른 메모 칸에 나누어 적자 혼동이 줄었다.

근은 구간을 나누는 경계이고, 등호는 그 경계를 해에 넣을지 결정한다.

표현을 바꾼 새 문제에 혼자 적용하기

다음에는 수치만 바꾸지 않고 표현 형식을 바꾸었다. \((x-4)(x+1)>0\)을 분수식 형태인 \(\frac{(x-4)(x+1)}{x-6}>0\)으로 확장하고, \(x=6\)은 분모를 0으로 만들므로 해에서 제외해야 한다는 조건을 추가했다. 학생은 먼저 \(-1,4,6\)을 수직선에 배열했다. 각 경계의 성격을 구분하지 않으면 세 구간만 만들기 쉽지만, 분모가 0이 되는 지점도 부호가 달라질 수 있는 경계이므로 네 구간으로 나누어야 한다.

학생은 대표값을 임의로 골라 \((-2,0,5,7)\)에서 식의 부호를 직접 계산했다. 그 결과 부호는 각각 음수, 양수, 음수, 양수로 배열되었다. 따라서 \(>0\)의 해는 \(-16\)이며, \(-1\)과 \(4\)에서는 분자가 0이 되고 \(6\)에서는 식이 정의되지 않으므로 포함할 수 없다. 새 형식에서도 ‘근과 분모의 제외점’을 한 수직선에 표시한 점이 풀이를 안정시켰다.

마지막에는 원래 식으로 되돌아갔다

검산은 부호표를 다시 베끼는 방식으로 끝내지 않았다. \(-1

처음 문제의 \((x-2)(x+3)\leq0\)도 \(x=0\)을 넣으면 음수이고, \(x=-4\)와 \(x=3\)을 넣으면 양수다. 양 끝 경계에서는 값이 0이다. 학생은 이 세 대표값과 두 경계값을 통해 부호와 등호 처리를 함께 검산하며, 해의 개수를 묻는 문제에서도 단순히 구간을 세지 않고 식의 정의와 부등호를 끝까지 확인했다.

자주 묻는 내용

부호가 바뀌는 점은 항상 해에 포함되나요?

그렇지 않다. 해당 식이 0이 되는 근이라도 \(>\), \(<\)에서는 제외되고 \(\geq\), \(\leq\)에서는 포함된다.

분모가 0이 되는 값도 근인가요?

근이 아니라 정의되지 않는 경계값이다. 부호표에는 표시하지만 해집합에는 넣지 않는다.

대표값은 왜 구간마다 하나씩 고르나요?

경계 사이에서는 인수들의 부호가 변하지 않으므로, 한 점의 부호를 확인하면 그 구간 전체의 부호를 판단할 수 있다.

해의 개수만 묻는 문제에서도 부호표가 필요한가요?

필요하다. 열린 구간과 닫힌 구간, 제외되는 정의역이 달라질 수 있어 구간을 정확히 정한 뒤 개수를 세어야 한다.

식을 전개한 뒤 풀어도 되나요?

가능하지만 인수분해 형태가 경계와 부호를 바로 보여 주는 경우가 많다. 전개했다면 다시 인수와 경계를 확인하는 검산이 필요하다.