대구남산동 고1수학과외







대구남산동 고1수학과외: 명제의 역과 대우를 화살표로 구분한 사례
명제 문제를 풀던 학생은 “실수 \(x\)에 대하여 \(x>2\)이면 \(x^2>4\)이다”를 읽고, 두 조건의 위치를 바꾸면 같은 내용이라고 판단했다. 그래서 원명제와 역을 모두 참으로 표시했지만, 음수 값이 포함되는 순간 판단이 흔들렸다.
화살표의 방향이 바뀌는 순간
교정할 때는 계산보다 조건 사이의 방향을 먼저 적었다.
\(x>2 \rightarrow x^2>4\)
역은 화살표를 반대로 하므로 \(x^2>4 \rightarrow x>2\)이고, 대우는 양쪽 조건을 부정하면서 방향을 반대로 하므로 \(x^2\le 4 \rightarrow x\le 2\)이다. 역과 대우를 같은 것으로 묶지 않고, 각각 별도의 화살표로 그리게 하자 풀이의 기준이 분명해졌다.
- 원명제: \(x>2\)이면 \(x^2>4\)
- 역: \(x^2>4\)이면 \(x>2\)
- 대우: \(x^2\le4\)이면 \(x\le2\)
역은 \(x=-3\)일 때 \(x^2>4\)이지만 \(x>2\)가 아니므로 거짓이다. 반면 원명제와 대우는 같은 참·거짓을 가진다. 학생은 답을 고른 뒤에도 마지막 조건의 방향이 처음 화살표와 어떻게 연결되는지 표시했다.
조건의 표현을 바꾸어 다시 판단하기
이번에는 “실수 \(x\)가 \(x^2\le4\)이면 \(x\le2\)이다”라는 문장을 제시했다. 학생은 이를 대우의 형태로 인식한 뒤, \(x^2\le4\)에서 곧바로 \(x\le2\)가 된다는 사실을 확인했다. 이때 \(x\)의 범위가 실수라는 조건도 함께 적어 표현이 달라져도 같은 논리를 유지했다.
마지막에는 식을 변형하지 않고 \(x=-3,-2,0,2,3\)을 기준으로 두 조건의 참·거짓을 나누어 보게 했다. 역명제에서는 \(x=-3\)이 반례가 되고, 대우에서는 원명제와 어긋나는 값이 나오지 않음을 확인하면서 화살표 방향과 실제 값의 판정이 일치하는지 검증했다.
풀이를 이어 가는 기준
대구남산동에서 고1 수학을 공부할 때 명제의 역과 대우는 문장을 외우는 것보다 조건의 방향을 구분하는 일이 먼저다. 학생은 이후 교과서 기본형을 다시 볼 때도 원명제, 역, 대우를 각각 따로 적고, 마지막에는 반례가 가능한지 확인하는 방식으로 풀이 근거를 남겼다.