침산동 중2수학과외

순환소수의 반복 시작점을 먼저 잡는 중2수학과외

대구일중학교와 침산중학교가 포함된 생활권에서 자주 만나는 유형이지만, 이 문제의 핵심은 계산 속도보다 순환마디가 시작되는 자리와 그 자릿값을 먼저 선택하는 것이었습니다.

계산보다 앞선 한 줄에서 풀이가 흔들리다

문제는 \(x=0.1\overline{23}\)을 분수로 나타내는 것이었습니다. 학생은 소수점 뒤 숫자에 동그라미를 치고, 반복되는 숫자가 23이라는 점도 확인했습니다. 그러나 식을 세우기 직전 순환마디의 시작을 실제보다 한 자리 뒤인 3에서 시작한다고 판단했습니다.

그 결과 \(100x\)와 \(10x\)를 비교하는 식을 먼저 적었습니다. 이후 숫자를 세로로 맞춰 계산했지만, 두 소수의 반복 부분이 같은 위치에 놓이지 않아 빼기 과정에서 어긋났습니다. 학생은 마지막에 나온 분수를 다시 소수로 바꾸려 했으나, 이미 반복마디의 시작 위치를 잘못 정한 것이 최초의 판단 오류였습니다. 단순히 계산 실수라고 표시하지 않고, 식을 쓰기 전 어느 자리를 기준으로 삼았는지 되짚었습니다.

순환마디의 숫자를 찾는 것과 순환마디가 시작되는 자리를 찾는 것은 같은 일이 아니다.

수정한 것은 기준 표시 하나

이미 알고 있던 ‘같은 자릿수를 맞춰 뺀다’는 과정은 그대로 두고, 반복되는 23의 시작점만 다시 표시했습니다. \(x=0.1232323\cdots\)에서 1은 반복되지 않는 숫자이고, 23부터 같은 순서로 계속된다는 점을 소수점 아래에 선으로 구분해 적었습니다.

학생은 반복이 시작되기 전 숫자가 한 자리이므로 먼저 \(10x\)를 적었습니다.

\(10x=1.232323\cdots\)

반복마디 두 자리까지 한 주기를 밀기 위해 \(1000x\)도 적었습니다.

\(1000x=123.232323\cdots\)

두 식을 세로로 맞춘 뒤 아래 식을 위 식에서 빼면 \(990x=122\)가 되고, 따라서 \(x=\frac{122}{990}=\frac{61}{495}\)라고 정리했습니다. 학생은 약분한 뒤 \(\frac{61}{495}\)를 다시 나누어 \(0.1232323\cdots\)이 되는지 확인했습니다. 검산에서도 반복되는 23이 같은 자리에서 나타나자, 기준을 먼저 정하면 뒤의 계산은 유지할 수 있다는 사실을 직접 확인했습니다.

표현을 바꾼 독립 적용

다음 문제에서는 순환소수를 바로 제시하지 않고, 분수 \(\frac{7}{55}\)를 소수로 나타낸 뒤 순환마디와 반복이 시작되는 자리를 설명하게 했습니다. 학생은 나눗셈 결과를 표로 적었습니다.

• 소수점 아래 첫 자리: 1
• 그다음 나머지와 숫자: 2, 7, 2, 7, …
• 반복마디: 27
• 반복 시작 자리: 소수점 아래 둘째 자리

이번에는 식에서 출발하지 않고 나머지의 반복을 관찰해 \(0.1\overline{27}\)이라고 표현했습니다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 분수에서 소수로 방향을 바꾸고 표를 이용해 순환마디의 위치를 결정한 문제였습니다. 학생은 “첫 자리 1은 반복되지 않으므로 10배, 27이 두 자리이므로 다시 100배를 곱해 자리를 맞춘다”고 설명했습니다.

도움 없이 기준을 재현한 장면

마지막 새 문제는 \(y=0.04\overline{6}\)을 분수로 나타내는 것이었습니다. 힌트 없이 학생은 먼저 0.04와 6 위에 각각 표시하고, “반복은 6에서 시작하지만 반복 전 숫자가 두 자리이므로 \(100y\)를 먼저 만든다”고 말했습니다.

학생은 \(100y=4.6666\cdots\), \(1000y=46.6666\cdots\)를 적은 뒤 빼서 \(900y=42\), \(y=\frac{7}{150}\)을 얻었습니다. 이어 \(\frac{7}{150}=0.046666\cdots\)으로 되돌려 보며, 반복되는 6의 위치가 원래 표기와 일치하는지 확인했습니다. 이번에는 계산 전에 순환마디의 시작과 반복 전 자리 수를 스스로 정했고, 그 선택이 왜 필요한지도 설명했습니다.