침산동 중1수학과외

침산동 중1수학과외에서 다룬 최대공약수 구성

침산화성파크드림과 침산동코오롱하늘채2단지가 있는 생활권, 대구일중학교와 침산중학교가 포함된 지역에서 중1수학과외를 진행하며 한 학생의 풀이를 살펴보았다. 이날 중심 문제는 두 수를 소인수의 곱으로 나타낸 뒤, 공통으로 포함된 인수를 이용해 최대공약수를 구성하는 내용이었다.

84와 126의 최대공약수를 소인수분해를 이용하여 구하고, 그 이유를 설명하시오.

답보다 먼저 확인해야 했던 조건

학생은 종이에 곧바로 84와 126을 나누기 시작했다. 84는 2×42, 42는 2×21로 계산하여 84=2×2×3×7까지 적었지만, 126을 2×63, 63=3×21로 바꾼 뒤에는 공통 인수를 표시하지 않고 2×3×3×7을 그대로 옆에 썼다. 이어서 두 식에 보이는 수를 모두 곱해 2×2×3×3×7이라고 적었다.

계산 자체보다 먼저 어긋난 부분은 최대공약수에 필요한 공통 인수만 골라야 한다는 조건을 확인하지 않은 것이었다. 한 수에만 있는 2나 3을 모두 가져오면 두 수를 동시에 나눌 수 있는 가장 큰 수가 아니라 다른 수가 만들어진다.

인수의 종류와 개수를 나란히 비교하기

이미 해낸 소인수분해 과정은 유지하고, 두 수의 인수를 줄을 맞춰 적게 했다.

84=2×2×3×7=2²×3×7
126=2×3×3×7=2×3²×7

그다음 숫자의 종류를 비교하면서 2는 두 식에 한 번씩, 3도 두 식에 들어 있지만 84에는 한 번, 126에는 두 번 들어 있음을 확인했다. 최대공약수에서는 공통으로 나타난 인수의 개수까지만 사용할 수 있으므로 2는 한 개, 3도 한 개, 7은 한 개를 선택했다.

따라서 최대공약수는 2×3×7=42이다. 학생이 적었던 2²×3²×7은 84에 들어 있는 3²와 126에 들어 있는 2²를 함께 사용했기 때문에 조건에 맞지 않는다. 두 수 모두를 나눌 수 있어야 한다는 기준으로 선택을 바로잡았다.

같은 개념을 다른 모양의 문제에 적용

다음 문제에서는 수를 바로 제시하지 않고, 곱셈 형태로 표현된 두 수의 최대공약수를 구하도록 바꾸었다.

두 수가 각각 2²×3×5와 2×3²×5로 나타날 때, 두 수의 최대공약수를 소인수의 곱으로 나타내시오.

학생은 이번에는 계산부터 하지 않고 각 식의 지수와 인수 종류를 먼저 표시했다. 첫 번째 식에는 2가 두 번, 3과 5가 한 번씩 있고, 두 번째 식에는 2가 한 번, 3이 두 번, 5가 한 번 있었다. 공통 인수의 종류를 먼저 찾은 뒤 반복 횟수가 더 적은 쪽을 선택하여 2×3×5라고 썼다.

표현이 일반적인 수에서 소인수의 곱으로 바뀌었지만, 최대공약수를 구성하는 기준은 같았다. 특히 지수가 큰 쪽을 무조건 고르는 것이 아니라 양쪽에 공통으로 존재하는 횟수만 사용한다는 이유도 한 줄로 설명했다.

힌트 없이 다시 세운 풀이와 검산

수업 후 학교 프린트의 새 문제를 제시했다.

180과 252를 소인수분해하여 최대공약수를 구하고, 구한 수가 두 수의 약수가 되는지 확인하시오.

학생은 도움을 기다리지 않고 180=2²×3²×5, 252=2²×3²×7로 정리했다. 두 식을 비교해 공통 인수는 2²와 3²이라고 판단하고, 최대공약수를 2²×3²=36으로 구성했다. 이어 180÷36=5, 252÷36=7을 계산하여 36이 두 수를 모두 나누는지 확인했다.

또한 “5와 7은 각각 한 식에만 있으므로 최대공약수에 넣지 않았고, 2와 3은 두 식에 공통으로 있으면서 양쪽의 개수가 같아 제곱으로 사용했다”고 설명했다. 처음처럼 모든 인수를 합치지 않고, 조건을 읽고 공통 인수와 반복 횟수를 확인한 뒤 곱으로 되돌려 검산하는 흐름을 스스로 재현한 장면이었다.

침산동과외에서는 이처럼 답만 맞히는 데 그치지 않고, 최대공약수를 구성할 때 어떤 인수를 왜 선택했는지 풀이의 한 줄마다 확인한다. 침산동중1수학과외에서도 수의 표현이 바뀌거나 조건의 순서가 달라져도 공통 인수와 사용 가능한 개수를 근거로 다시 판단하도록 지도한다.