침산동 중3수학과외

침산동 생활권에서 살펴본 근호 정리의 첫 판단

침산화성파크드림과 침산동코오롱하늘채2단지가 있는 생활권에서 중3 수학 문제를 점검했습니다. 대구일중학교와 침산중학교가 포함된 지역에서 학생이 자습할 만한 공간으로 화성그랜드파크 도서관 함지원이나 꿈꾸는도서관 인근을 참고할 수 있지만, 이날 수업의 중심은 생활 정보가 아니라 근호 안에서 완전제곱인 인수를 먼저 찾는 판단이었습니다. 침산동과외, 침산동중3수학과외에서도 이 첫 선택을 놓치면 뒤 계산이 맞아 보여도 답 전체가 달라질 수 있습니다.

계산보다 먼저 적은 표시

학생은 다음 문제를 보고 풀이를 시작했습니다.

√180을 간단히 하시오.

공책에는 처음에 다음과 같이 적혀 있었습니다.

180=2×90, √180=2√90=2×3√10=6√10

끝의 6√10은 정답이 아니지만, 마지막 계산에서 갑자기 실수한 것은 아니었습니다. 풀이가 틀어지기 전 학생이 가장 먼저 내린 판단은 180을 나누는 과정에서 2를 제곱수처럼 근호 밖으로 꺼낸 것이었습니다. 2는 어떤 자연수의 제곱도 아니므로 √2를 그대로 근호 안에 두어야 합니다. 그런데 학생은 ‘180을 2와 90으로 나누었으니 2도 밖으로 이동할 수 있다’고 생각한 뒤 계산을 이어 갔습니다.

이 판단은 식의 모양을 바꾸는 핵심 조건을 빠뜨린 것입니다. 근호 밖으로 나올 수 있는 인수는 아무 인수가 아니라 4, 9, 16, 25처럼 완전제곱인 인수여야 합니다. 따라서 첫 단계에서 180 안에 어떤 완전제곱인 인수가 들어 있는지부터 표시해야 했습니다.

180 안에서 찾은 한 덩어리

오류와 직접 연결된 행동만 고쳐 다시 풀었습니다. 180을 다음처럼 분해해 공책에 밑줄을 그었습니다.

180=36×5

여기서 36은 6²인 완전제곱이고, 5는 완전제곱인 인수가 아닙니다. 그러므로 제곱으로 묶이는 부분만 근호 밖으로 옮깁니다.

√180=√(36×5)=√36×√5=6√5

처음 풀이에서 맞았던 ‘남은 수를 곱해 식을 정리한다’는 계산 흐름은 유지하되, 밖으로 이동하는 대상을 2가 아니라 36으로 바꿨습니다. 이 한 지점만 바로잡자 결과는 6√5가 되었습니다. √36을 6으로 바꾼 이유도 36=6²이기 때문이며, √5는 5가 완전제곱이 아니므로 그대로 남습니다.

표현을 바꾼 근호식에 적용하기

다음에는 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 피근수가 곱셈으로 바로 보이지 않는 식을 제시했습니다.

√(12×75)를 가장 간단한 꼴로 나타내시오.

학생은 먼저 12와 75를 각각 완전제곱이 포함된 형태로 살폈습니다.

12=4×3, 75=25×3

따라서 전체 피근수는

12×75=(4×3)(25×3)=4×25×3×3=100×9

이제 100과 9가 모두 완전제곱임을 확인합니다. 100=10², 9=3²이므로

√(12×75)=√(100×9)=√900=30

이번에는 완전제곱인 인수를 따로 표시한 뒤 밖으로 옮겼습니다. 특히 12나 75 자체를 무조건 꺼내려 하지 않고, 그 안의 4와 25를 찾았습니다. 같은 세부개념을 유지하면서 식의 구조를 바꾸었지만, 판단 기준은 ‘피근수에서 제곱으로 묶이는 인수를 먼저 찾는다’로 같았습니다.

힌트 없이 다시 세운 확인 기준

마지막에는 풀이 순서를 알려 주지 않고 새 문제를 제시했습니다.

√(48a²)에서 a=3일 때, 근호 안의 완전제곱인 인수를 찾아 간단히 하시오.

학생은 먼저 조건에 따라 식을 수로 바꾸어 √(48×3²)=√432라고 적었습니다. 이어서 432를

432=144×3=12²×3

으로 분해하고, 144만 완전제곱인 인수로 표시했습니다.

√432=√(144×3)=12√3

학생은 “144는 12²이므로 밖으로 12가 나오고, 남은 3은 완전제곱이 아니어서 안에 둔다”고 설명했습니다. 마지막으로 밖으로 나온 수 12를 다시 제곱해 12²×3=144×3=432가 되는지 대조했습니다. 근호 안의 완전제곱인 인수를 스스로 선별하고, 꺼낸 부분을 제곱해 원래 피근수와 맞춰 보았으므로 같은 기준을 힌트 없이 재현한 장면입니다.