읍내동 중등수학과외

읍내동중등수학과외, 6·8 직각삼각형에서 빗변 10을 확인하고 직각변 식을 고치는 방법

피타고라스 정리에서는 세 변을 모두 같은 방식으로 다루지 않습니다. 두 직각변의 길이가 6, 8인 직각삼각형에서 구하는 변은 직각의 맞은편에 있는 빗변입니다. 따라서 빗변을 c라고 표시하면 c²=6²+8²가 되고, c²=36+64=100이므로 c=10입니다. 반대로 빗변이 10이고 한 직각변이 6일 때는 남은 직각변을 구해야 하므로 더하기가 아니라 빼기가 필요합니다. 읍내동중등수학과외 수업에서는 답만 외우게 하기보다, 학생이 쓴 식의 어느 줄에서 구하는 변의 역할이 바뀌었는지를 함께 살펴보며 판단을 바로잡습니다.

직각의 맞은편 변을 먼저 표시해야 하는 이유

피타고라스 정리 a²+b²=c²에서 c는 언제나 빗변입니다. 빗변은 직각을 이루는 두 변 사이에 있지 않고, 반드시 90°의 맞은편에 놓입니다. 기본 과제에서는 길이 6과 8이 직각을 이루는 두 변이고, 아직 모르는 c가 빗변이므로 c²=6²+8²라고 적습니다. 정사각형 넓이 그림으로 보면 한 변 6인 정사각형의 넓이는 36, 한 변 8인 정사각형의 넓이는 64이며, 빗변 위 정사각형의 넓이는 두 넓이의 합인 100입니다. 그러므로 길이는 √100=10입니다. 여기서 “직각의 맞은편 변은 어느 변인가요?”라고 묻고, 도형에서 그 변에 c를 직접 표시하게 하면 식의 자리가 단순한 기호가 아니라 변의 역할을 나타낸다는 점이 드러납니다.

빗변 10과 직각변 6으로 나머지 직각변 구하기

비교 과제는 빗변 10, 한 직각변 6이 주어졌을 때 다른 직각변의 길이를 구하는 문제입니다. 모르는 변을 x라고 하면 6²+x²=10²입니다. 이 식은 여전히 ‘두 직각변의 제곱의 합은 빗변의 제곱’이라는 같은 관계를 말합니다. 다만 모르는 x²가 합의 한쪽에 있으므로 x²=10²−6²로 옮겨야 합니다. x²=100−36=64, 따라서 x=8입니다. 직각변을 구하면서 x²=10²+6²처럼 두 제곱을 더했다면, 빗변이 가장 길어야 한다는 조건과도 맞지 않습니다. 길이 10인 빗변보다 더 큰 값을 직각변으로 만들게 되기 때문입니다. 수정할 때는 처음 쓴 줄을 지우기보다, 10이 빗변이라는 표시와 함께 왜 100에서 36을 빼는지 적어 보게 합니다.

풀이 두 줄을 비교하며 다음 확인으로 이어가기

교정의 핵심은 미지수가 빗변인지 직각변인지 구분해 식을 정리하는 데 있습니다. 빗변이 미지수인 기본 과제에서는 c²=6²+8²로 시작해 10을 구하고, 직각변이 미지수인 비교 과제에서는 6²+x²=10²를 쓴 뒤 x²=10²−6²로 정리해 8을 구합니다. 비교 과제의 검산은 6²+8²=36+64=100=10²로 원래 관계가 성립하는지 확인하는 방식이 적절합니다. 가정에서도 답을 바로 알려 주기보다 학생이 적은 두 줄에서 더하기와 빼기가 갈린 위치를 보고, 각 줄의 미지수가 빗변인지 직각변인지 물어볼 수 있습니다. 이후에는 도움 없이 비교 과제를 다시 풀면서 직각의 맞은편 변을 표시하고, 식이 왜 달라지는지 설명하며 8을 얻는지 확인합니다. 두 질문에 근거를 말하고 식과 대입 검산까지 연결할 수 있는지가 다음 학습으로 넘어가기 전 살필 기준입니다.