읍내동 중1수학과외
읍내동 중1수학과외에서 이어 간 약수 개수 판단
읍내동과외 수업에서 학생은 칠곡중학교가 포함된 생활권의 문장제 문제를 풀고 있었다. 문제는 “어떤 자연수의 소인수분해가 2³×3²일 때 약수는 모두 몇 개인가?”에 이어, 약수의 개수가 12개인 수를 찾는 내용이었다. 칠곡코스모스한양과 산호한양아파트가 있는 생활권에서 접할 법한 생활 속 수를 소재로 삼았지만, 풀이의 중심은 수의 인수와 지수를 이용해 약수 개수를 판단하는 일이었다.
한 줄의 계산에서 드러난 경계 판단
학생은 첫 문제의 답안에 “2³×3²이므로 3×2=6, 약수는 6개”라고 적었다. 지수에 1을 더해야 한다는 내용을 알고 있었지만, 3과 2를 그대로 곱한 것이다. 또 약수 개수가 12개인 수를 고르는 문제에서는 “2²×3³은 12개”라고 쓴 뒤, 지수가 0인 경우까지 포함할 수 있다는 점을 따로 표시하지 않았다.
풀이가 어긋난 최초의 판단은 계산 결과가 아니라 각 소인수를 약수의 곱에 포함할지 결정하는 범위를 세지 않은 것이었다. 2³에서는 2를 0개, 1개, 2개, 3개 사용할 수 있고, 3²에서는 0개, 1개, 2개 사용할 수 있다. 그런데 학생은 지수 자체만 곱해 가능한 선택의 수를 빠뜨렸다.
2³에서 고를 수 있는 지수: 0, 1, 2, 3 → 4가지
3²에서 고를 수 있는 지수: 0, 1, 2 → 3가지
따라서 약수의 개수: 4×3=12개
교정할 때는 이미 알고 있던 소인수분해는 그대로 두고, 각 지수에 1을 더하는 이유만 직접 확인했다. 학생은 2³×3²의 약수를 몇 개 적어 보며 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72를 나열했다. 2의 지수를 0으로 두면 3의 거듭제곱만 남고, 3의 지수를 0으로 두면 2의 거듭제곱만 남는다는 사실도 표시했다. 이 과정을 통해 지수 0을 제외하면 안 된다는 경계 조건을 분명히 했다.
문장의 형태를 바꾸어 다시 판단하기
다음에는 식을 바로 주지 않고 문장으로 제시했다. “한 수는 2를 세 번, 5를 두 번 곱해 만들 수 있다. 이 수의 약수 중 하나를 만들 때 2와 5를 각각 몇 번 사용할 수 있는가?” 학생은 먼저 문장에 나온 조건을 식으로 바꾸어 2³×5²라고 적었다. 그 뒤 2의 사용 횟수는 0부터 3까지 네 가지, 5의 사용 횟수는 0부터 2까지 세 가지라고 정리해 4×3=12라고 답했다.
이번에는 같은 개념을 표로 바꾸었다.
| 2의 지수 | 가능한 값 | 개수 |
|---|---|---|
| 2⁴ | 0, 1, 2, 3, 4 | 5 |
표에 “3의 지수는 1”이라는 조건을 추가하자 학생은 3의 지수는 고정되어 선택 대상이 아니라고 판단했다. 따라서 약수 개수는 2의 지수 선택 수인 5개라고 설명했다. 단순히 숫자를 바꾼 것이 아니라, 식에서 문장으로, 문장에서 표로 표현이 달라져도 ‘지수에 1을 더해 가능한 횟수를 세는’ 기준은 유지한 것이다.
힌트 없이 원래 조건으로 돌아간 확인
수업 끝부분에는 “약수가 12개인 수를 한 가지 만들고, 왜 12개인지 설명하라”는 새 조건을 제시했다. 학생은 도움을 기다리지 않고 2²×3³을 선택했다. 2의 지수는 0, 1, 2로 3가지이고 3의 지수는 0, 1, 2, 3으로 4가지이므로 3×4=12라고 적었다.
이어서 약수 몇 개를 직접 확인했다. 2의 지수를 0으로 두면 1, 3, 9, 27이 나오고, 1로 두면 2, 6, 18, 54가 나온다. 2²까지 같은 방식으로 묶으면 모두 12개가 된다. 학생은 “지수의 시작은 1이 아니라 0이며, 마지막 지수까지 포함해야 한다. 두 소인수의 선택을 곱한 뒤 실제 약수를 일부 되돌려 세어 조건과 맞는지 확인했다”고 설명했다.
읍내동중1수학과외에서 확인한 변화는 답을 외운 것이 아니었다. 학생은 새로운 곱셈 형태와 문장, 표로 조건이 바뀌어도 먼저 소인수의 지수 범위를 표시하고, 각 선택 수를 곱한 뒤 약수를 직접 만들어 결과를 검산했다.