읍내동 중3수학과외

읍내동 중3수학과외에서 살펴본 √(a²)의 부호

읍내동과외 수업에서 학생이 가장 먼저 내놓은 식은 √((-7)²)=-7이었다. 계산 과정에는 “(-7)²=49, √49=7”이라고 적혀 있었지만, 마지막 줄에서 다시 -7로 바꾸었다. 읍내동중3수학과외에서는 계산 실수보다 이 마지막 판단이 왜 생겼는지를 먼저 확인했다.

이번 수업의 범위는 √(a²)의 값을 정할 때 a의 부호와 경계 조건을 확인하는 것이다. 칠곡중학교가 포함된 생활권이나 칠곡코스모스한양, 겨자씨도서관 인근 생활권에서 접할 수 있는 문제라도 이 식에서는 제곱 결과의 양수 여부만 보고 원래 수를 그대로 되돌려서는 안 된다.

풀이 기록에서 드러난 한 줄의 선택

학생은 제한 시간 안에 다음 세 문제를 한 번에 풀었다.

• √(5²)=5
• √(0²)=0
• √((-7)²)=-7

앞의 두 문제는 맞았다. 학생의 풀이 옆에는 “a가 양수이면 a, a가 0이면 0, 음수이면 음수인 a”라고 적혀 있었다. 즉, 일반적인 경우와 달라지는 경우를 구분하려고 했지만, 음수일 때도 제곱근 기호의 값을 원래 수와 같게 둔 것이다.

√(a²)의 값은 a 자체가 아니라, 제곱해서 a²가 되는 음이 아닌 수를 선택한다.

따라서 √((-7)²)=√49=7이다. 여기서 처음 어긋난 판단은 49의 제곱근을 고르는 순간이 아니라, “음수인 a도 그대로 쓴다”고 정한 순간이다. 이후의 49 계산은 맞았으므로 그 계산까지 다시 바꿀 필요는 없었다.

부호를 가르는 기준만 다시 세우기

교정은 한 가지 행동으로 제한했다. 식을 계산하기 전에 a의 부호를 먼저 표시하도록 했다. 예를 들어 a≥0이면 √(a²)=a이고, a<0이면 √(a²)=-a이다. a=0인 경계에서는 두 표현 모두 0이므로 결과가 0이다.

이를 문제에 적용하면 다음과 같다.

• a=5: √(a²)=√25=5
• a=0: √(a²)=√0=0
• a=-7: √(a²)=√49=7=-(-7)

학생은 앞서 맞혔던 제곱 계산은 그대로 두고, 음수 조건에서만 결과의 부호를 바꾸었다. “제곱근 기호의 값은 음수가 될 수 없으므로, a가 음수일 때는 -a를 선택한다”고 풀이 옆에 이유도 덧붙였다. 이 설명은 √(a²)의 값을 판단하는 기준에서 벗어나지 않는다.

조건이 식 앞에 없을 때도 같은 기준인가

다음에는 표현을 바꾸어, a의 값이 식 안에 직접 보이지 않는 문제를 제시했다.

“실수 a에 대하여 a<0이고, a²=36일 때 √(a²)의 값을 구하여라.”

학생은 먼저 a<0이라는 조건을 읽고 “a=-6”이라고 정리했다. 그러나 √(a²)는 √36이므로 6이라고 답했다. 이어서 “a가 -6이라는 사실은 √(a²)를 -6으로 만드는 조건이 아니라, 결과가 -a가 되는 조건”이라고 설명했다. 조건의 위치가 식 뒤로 이동했지만, 부호를 먼저 확인한 뒤 √(a²)=|a|에 해당하는 값을 고르는 기준은 그대로 유지했다.

또 다른 표현으로 표를 완성하게 했다.

• a=3이면 √(a²)=?
• a=-2이면 √(a²)=?
• a=0이면 √(a²)=?

학생은 각각 3, 2, 0을 적고, “결과는 항상 0 이상이며 a가 음수일 때만 a와 달라진다”고 정리했다. 단순히 숫자만 바꾼 계산이 아니라, 부호 조건이 문제의 어느 위치에 놓였는지 읽고 같은 판단을 적용한 것이다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

수업 끝에는 다음 문제를 별도의 표시나 질문 없이 풀었다.

“실수 x에 대하여 x≤0이고 x²=81이다. √(x²)의 값을 구하고, 그 값이 x와 같은지 다른지 설명하여라.”

학생은 x≤0에서 x=-9라고 쓴 뒤, √(x²)=√81=9라고 답했다. 이어 “x가 음수이므로 √(x²)=x가 아니라 -x이다. 실제로 -x=9이고 제곱하면 81이므로 조건에 맞는다”고 검산했다. x=0인 경계에서는 √(0²)=0으로 같고, x<0인 경우에는 √(x²)=-x로 달라진다는 점도 스스로 덧붙였다.

마지막으로 학생은 “√(a²)는 a를 그대로 읽는 식이 아니라, a의 부호를 먼저 확인해 음이 아닌 값을 선택하는 식”이라고 설명했다. 새로운 조건과 질문 방향에서도 같은 기준을 스스로 세우고, 결과를 제곱해 확인했으므로 √(a²)의 부호 판단을 독립적으로 재현한 장면이다.