읍내동 고1수학과외







읍내동 고1수학과외, 판별식의 경계에서 갈린 이차방정식 판단
학생은 이차방정식의 판별식을 계산한 뒤, 판별식이 0보다 작으면 실근이 없다는 규칙을 알고 있었다. 하지만 문제에서 “서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 값”을 묻자, 판별식이 0인 경우까지 답에 포함했다.
0을 지나가는 순간을 놓친 이유
예를 들어 \(x^2-2x+1=0\)에서는 판별식이 \(0\)이므로 중근 하나를 갖는다. 반면 \(x^2-2x+2=0\)의 판별식은 \(-4\)라서 실근이 없다. 학생은 두 경우를 모두 실근이 있는 경우처럼 묶어 해석하면서 ‘서로 다른 두 근’과 ‘실근’을 구별하지 못했다.
판별식의 값 자체보다 문제에서 요구한 근의 개수와 경계값의 포함 여부를 먼저 확인한다.
이후에는 판별식의 기준을 \(D>0\), \(D=0\), \(D<0\)으로 나누고, 문제의 표현과 맞는 부분에 체크하도록 했다. 계산을 다시 반복하기보다 경계인 \(D=0\)을 별도로 표시하자 중근을 두 개의 근으로 세는 오류가 사라졌다.
조건의 위치를 바꾼 문제에 적용하기
다음에는 \(x^2-2x+k=0\)이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 \(k\)의 범위를 구하게 했다. 판별식은
\[ D=(-2)^2-4k=4-4k \]
이므로 \(D>0\), 즉 \(4-4k>0\)에서 \(k<1\)을 얻는다. 이번에는 ‘방정식이 실근을 갖지 않도록 하는 \(k\)’라고 질문을 바꾸어 \(D<0\), \(k>1\)로 해석하게 했다. 같은 식이라도 요구하는 근의 상태에 따라 부등호 조건이 달라진다는 점을 확인한 것이다.
그래프로 독립 확인한 결과
마지막에는 식을 바로 계산하지 않고 \(y=x^2-2x+k\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 모습을 기준으로 판단하게 했다. \(k<1\)이면 두 점에서 만나고, \(k=1\)이면 한 점에서 접하며, \(k>1\)이면 만나지 않는다. 판별식으로 얻은 세 범위와 그래프의 교점 개수가 일치해, 경계값을 포함할지 제외할지 스스로 검증할 수 있었다.
읍내동 겨자씨도서관에서 정리한 학습 기록에는 답만 적지 않고, \(D=0\)이 중근에 해당한다는 판단 근거도 함께 남겼다.
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