화원읍 중3수학과외

화원읍 중3수학과외, 근호가 같을 때만 더하는 연습

화원읍과외 수업에서 제곱근 계산을 하던 중, 학생은 계산 결과보다 먼저 항의 모양을 비교해야 하는 문제에서 멈췄습니다. 화원중학교, 달성중학교, 천내중학교가 포함된 생활권에서 중3수학을 공부할 때도 자주 만나는 장면입니다.

나란히 적은 두 식에서 시작된 혼동

교과서의 문제는 다음과 같았습니다.

3√5＋2√5－√5

학생은 √5가 세 번 반복된다는 점을 보고 계수만 계산하여

(3＋2－1)√5＝4√5

라고 적었습니다. 이 풀이는 맞았습니다. 그래서 이어진 다음 문제에서도 같은 방법을 적용했습니다.

2√3＋√12－√27

학생의 기록에는 다음과 같이 쓰여 있었습니다.

2√3＋√12－√27＝(2＋1－1)√3＝2√3

첫 식에서는 모든 항의 근호 부분이 √5로 같았지만, 두 번째 식에서는 √3, √12, √27이 그대로 놓여 있었습니다. 학생은 근호 뒤 숫자가 서로 다르다는 사실을 읽었지만, 각 항 앞의 계수만 보고 모두 같은 종류라고 판단했습니다. 특히 √12와 √27을 아직 √3이 포함된 형태로 바꾸지 않았는데도, 첫 문제의 계산 모양을 그대로 옮긴 것이 최초의 어긋남이었습니다.

계수보다 먼저 근호 부분을 표시하기

이번에는 계산을 시작하기 전에 각 항에서 ‘계수’와 ‘근호 부분’을 나누어 표시했습니다.

• 2√3: 계수 2, 근호 부분 √3
• √12: 계수 1, 근호 부분 √12
• －√27: 계수 －1, 근호 부분 √27

세 근호 부분이 완전히 같지 않으므로 처음부터 계수 2, 1, －1을 한꺼번에 계산할 수는 없습니다. 다만 이 문제에서는 서로 같은 근호 부분이 드러나도록 표현을 바꿀 수 있습니다.

√12＝√(4×3)＝2√3
√27＝√(9×3)＝3√3

따라서 식은

2√3＋2√3－3√3

가 됩니다. 이제 세 항의 근호 부분이 모두 √3으로 같으므로 계수만 계산합니다.

(2＋2－3)√3＝√3

여기서 바꾼 것은 한 가지입니다. 표현이 다를 때 계수부터 합치지 않고, 공통으로 남는 근호 부분이 완전히 같은지 확인한 뒤 같은 형태로 정리하는 행동으로 순서를 고쳤습니다. 이미 맞았던 계수 계산 자체는 그대로 유지했습니다.

표현을 바꾸어 같은 관계 찾기

다음에는 항의 배열과 부호를 바꾸고, 식을 계산하는 대신 ‘서로 더할 수 있는 항끼리 묶어 쓰라’는 형식으로 제시했습니다.

√48 － 2√12 ＋ √75

학생은 먼저 각 항을 정리했습니다.

√48＝4√3,　√12＝2√3,　√75＝5√3

따라서

4√3－2(2√3)＋5√3

가 되고, 두 번째 항까지 계수를 정리하면

4√3－4√3＋5√3

입니다. 모든 항에 공통으로 남은 근호 부분이 √3이므로 계수 관계만 비교할 수 있습니다. 4－4＋5＝5이므로 결과는 5√3입니다. 이번에는 앞선 문제처럼 양의 항부터 배열되어 있지 않았고, 한 항은 괄호 안의 곱으로 표현되어 있었지만, 학생은 숫자의 위치가 아니라 근호 부분을 기준으로 묶었습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

수업 끝에는 도움 없이 다음 문제를 새로 풀게 했습니다.

3√18 ＋ √50 － 2√8

학생은 풀이 옆에 먼저 “세 항의 근호를 √2로 맞춘다”고 적었습니다.

√18＝3√2,　√50＝5√2,　√8＝2√2

그러므로

3√18＋√50－2√8
＝3(3√2)＋5√2－2(2√2)
＝9√2＋5√2－4√2
＝10√2

라고 정리했습니다. 마지막에는 정리 전 각 항의 근호가 모두 √2를 바탕으로 바뀌었는지, 정리 후에도 남은 근호의 종류가 √2 하나인지 확인했습니다. “계수 9, 5, 4만 계산한 이유는 세 항의 근호 부분이 모두 √2로 같기 때문”이라고 설명했으며, 처음 보는 표현에서도 같은 기준을 스스로 선택했습니다. 이것이 화원읍중3수학과외에서 확인하고 싶은 동류근 판단의 독립적인 재현입니다.