좌극한과 우극한, 접근 방향을 먼저 읽는 연습

서술형 답안에서 좌극한과 우극한이 뒤바뀐 오류는 계산보다 접근 방향을 잘못 해석해서 생기는 경우가 많습니다. 특히 시간 제한이 있는 첫 시도에서는 a−와 a+를 숫자처럼 다루기 쉽습니다. 화원읍과외 수업에서는 수직선 위 화살표와 조각함수의 식을 함께 확인하며 이 실수를 교정합니다.

답안의 첫 줄에서 발견한 오류

다음 함수의 x=2에서 좌극한과 우극한을 구해 봅니다.

\( f(x)=\begin{cases} x+1 & (x<2)\\ 3x-1 & (x\ge 2) \end{cases} \)

학생은 다음과 같이 적었습니다.

\( \displaystyle \lim_{x\to2^-}f(x)=3\cdot2-1=5 \),
\( \displaystyle \lim_{x\to2^+}f(x)=2+1=3 \)

결과가 서로 바뀌었습니다. \(x\to2^-\)는 2보다 작은 값에서 접근하므로 \(x<2\)에 해당하는 식 \(x+1\)을 사용해야 합니다. 반대로 \(x\to2^+\)는 2보다 큰 값에서 접근하므로 \(3x-1\)을 사용합니다.

수직선에서 방향을 식으로 연결하기

왼쪽 접근

\(x\to2^-\)는 \(1.9, 1.99, 1.999\)처럼 2의 왼쪽에서 가까워지는 상황입니다.

\[ \lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}(x+1)=2+1=3 \]

오른쪽 접근

\(x\to2^+\)는 \(2.1, 2.01, 2.001\)처럼 2의 오른쪽에서 가까워지는 상황입니다.

\[ \lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}(3x-1)=3\cdot2-1=5 \]

따라서 좌극한은 3, 우극한은 5입니다. 두 값이 다르므로 양쪽 극한 \(\lim_{x\to2}f(x)\)는 존재하지 않습니다. 함수값은 \(f(2)=5\)이지만, 함수값과 양쪽 극한의 존재 여부는 별도로 판단해야 합니다.

양쪽 식이 바뀐 문제에 적용하기

이번에는 식의 위치가 달라진 문제를 살펴봅니다.

\( g(x)=\begin{cases} 2x-4 & (x\le -1)\\ x^2+1 & (x>-1) \end{cases} \)

\(x\to-1^-\)에서는 \(x\le-1\)인 구간의 식을 사용하고, \(x\to-1^+\)에서는 \(x>-1\)인 구간의 식을 사용합니다.

\[ \lim_{x\to-1^-}g(x)=2(-1)-4=-6 \]

\[ \lim_{x\to-1^+}g(x)=(-1)^2+1=2 \]

따라서 좌극한과 우극한이 다르므로 \(x=-1\)에서 양쪽 극한은 존재하지 않습니다. 경계값이 음수이거나 함수식이 복잡해도 판단 기준은 같습니다. 기호의 모양을 계산하지 말고, 접근하는 쪽에 맞는 구간 조건을 먼저 읽어야 합니다.

최종 점검표

• \(x\to a^-\): \(a\)보다 작은 쪽에서 접근
• \(x\to a^+\): \(a\)보다 큰 쪽에서 접근
• 접근 방향에 맞는 조각함수를 선택
• 좌극한과 우극한을 각각 계산
• 두 값이 같을 때만 양쪽 극한이 존재

서술형에서는 “좌극한은 왼쪽 식, 우극한은 오른쪽 식”이라고 근거를 짧게 덧붙이면 풀이의 방향이 분명해집니다. 대구고3수학과외처럼 시험 풀이를 점검하는 과정에서도 이 순서를 습관화하면 부호와 방향을 혼동하는 실수를 줄일 수 있습니다.