진천동 중3수학과외

진천동 중3수학과외에서 살핀 ‘같은 근호끼리’의 기준

진천동과외 수업에서 월배중학교가 포함된 생활권의 한 학생이 다음 풀이를 펼쳐 보였습니다. 진천동중3수학과외에서 다룬 핵심은 계산 속도가 아니라, 어떤 항을 한 종류로 묶을 수 있는지 먼저 판별하는 일이었습니다.

완성된 답에서 거꾸로 찾은 첫 갈림길

문제는 다음과 같았습니다.

3√5＋2√3－√5＋4√3을 간단히 하시오.

학생은 식을 한 줄에 이어 쓰지 않고, 중간식을 손가락으로 가리면서 완성된 풀이를 뒤에서부터 읽었습니다.

• 3√5＋2√3－√5＋4√3
• ＝(3＋2－1＋4)√5
• ＝8√5

마지막 계산인 3＋2－1＋4＝8 자체에는 문제가 없었습니다. 그러나 이 계산을 하기 직전, 학생은 √3이 붙은 항까지 √5와 같은 종류라고 판단했습니다. 즉, 계수 3, 2, 1, 4만 보고 한꺼번에 묶은 것이 최초의 오류였습니다. 뒤의 정수 계산이 틀린 것이 아니라, 근호 부분이 같은지 확인하지 않고 계수 계산으로 넘어간 판단에서 풀이가 이미 어긋났습니다.

식을 항의 모양대로 다시 나누어 보면 3√5와 −√5는 근호 부분이 √5로 같지만, 2√3과 4√3은 근호 부분이 √3으로 같습니다. 따라서 두 묶음을 서로 섞을 수 없습니다.

바꾼 것은 표시 한 번뿐

전체 풀이를 처음부터 다시 쓰게 하거나 계산법을 모두 바꾸지는 않았습니다. 최초 판단과 직접 연결된 행동 하나만 정했습니다. 계수를 계산하기 전에 근호 부분이 완전히 같은 항에만 같은 표시를 한다는 규칙입니다.

학생은 √5가 붙은 항에 밑줄 하나, √3이 붙은 항에 밑줄 두 개를 그었습니다.

• √5 묶음: 3√5－√5＝(3－1)√5＝2√5
• √3 묶음: 2√3＋4√3＝(2＋4)√3＝6√3

이미 맞았던 부호 계산은 그대로 살려 최종식은 다음과 같이 정리했습니다.

3√5＋2√3－√5＋4√3＝2√5＋6√3

여기서 2√5와 6√3을 다시 더하지 않은 이유도 분명합니다. 앞의 항은 √5, 뒤의 항은 √3을 포함하므로 근호 부분이 서로 다르기 때문입니다. 계수가 비슷하거나 항이 나란히 놓였다는 이유만으로 동류근이 되지는 않습니다.

표현을 바꾼 새 장면

다음에는 식을 그대로 제시하지 않고, 빈칸이 있는 정리표를 사용했습니다.

√7 항의 계수 합: 5－2＝□
√2 항의 계수 합: 1＋3＝□
따라서 5√7＋√2－2√7＋3√2＝□√7＋□√2

이 문제는 숫자만 바꾼 반복이 아닙니다. 학생은 완성된 식을 바로 계산하지 않고, 먼저 각 항에서 ‘어떤 근호가 붙어 있는가’를 읽어 표의 두 줄에 배치해야 했습니다. √7 항은 5√7과 −2√7이므로 계수 합이 3이고, √2 항은 √2와 3√2이므로 계수 합이 4입니다. 따라서 답은 3√7＋4√2입니다.

특히 학생은 √7과 √2를 한 표에 합치지 않았습니다. 질문의 방향도 달라졌습니다. 단순히 식을 계산하는 대신, 이미 제시된 항을 근호별로 분류하고 각 묶음의 계수만 계산한 것입니다. 하지만 판단 기준은 처음과 동일하게 ‘근호 부분이 완전히 같은가’ 하나였습니다.

힌트 없이 남긴 최종 검증 기록

며칠 뒤에는 다음 문제만 제시하고 표시나 질문을 주지 않았습니다.

7√11－3√6－2√11＋√6을 간단히 하시오.

학생은 먼저 7√11과 −2√11에 같은 표시를 하고, −3√6과 √6에 다른 표시를 했습니다. 그 뒤

7√11－2√11＝5√11,
−3√6＋√6＝−2√6

이라고 계산하여 5√11－2√6을 얻었습니다. 마지막에는 풀이 이유를 스스로 설명했습니다.

“계수의 부호까지 포함해 계산하되, 근호가 같은 항끼리만 묶었습니다. 정리 전에는 √11 항과 √6 항이 각각 두 개였고, 정리 후에도 √11과 √6 두 종류가 남아 있으므로 서로 다른 근호를 합치지 않은 결과가 맞습니다.”

이번 검증에서는 어느 항에 표시할지, 어떤 항을 남겨 둘지 도움을 받지 않았습니다. 답만 맞힌 것이 아니라 정리 전후의 근호 종류와 계수 계산을 대조하며, 동류근을 구별해 더하고 뺀다는 기준을 독립적으로 재현했습니다.