진천동 고2수학과외







학생 풀이 기록에서 드러난 첫 오류
학생은 다음 함수를 보고 “x=1에서 식이 정의되므로 극한도 f(1)과 같다”고 적었다.
f(x) = (x²−1)/(x−1) (x≠1), f(1)=5
하지만 x≠1일 때 식을 정리하면 f(x)=x+1이므로, x가 1에 가까워질수록 함수값은 2에 가까워진다. 따라서 f(1)=5라는 실제 함수값과 limx→1f(x)=2라는 극한값은 다르다.
세 항목을 따로 기록하기
| 구분 | 값 | 의미 |
|---|---|---|
| 좌극한 | limx→1−f(x)=2 | 왼쪽에서 접근하는 값 |
| 우극한 | limx→1+f(x)=2 | 오른쪽에서 접근하는 값 |
| 함수값 | f(1)=5 | x=1에서 실제로 정한 값 |
좌극한과 우극한이 모두 2이므로 극한은 2로 존재한다. 함수값 5는 극한을 자동으로 결정하지 않는다.
점 하나를 바꾼 뒤에도 극한은 유지되는가
이번에는 같은 주변식을 사용하면서 x=1에서의 값만 바꿔 보자.
교정 전후 풀이 비교
교정 전: f(1)=5이므로 limx→1f(x)=5라고 판단한다.
교정 후: 극한에서는 x=1의 함수값이 아니라 x가 1이 아닌 주변에서 어떤 값에 가까워지는지 확인한다.
따라서
(x²−1)/(x−1)=(x−1)(x+1)/(x−1)=x+1 (x≠1)
이므로 limx→1f(x)=limx→1(x+1)=2이다.
새 문제로 확인하기
g(x)=(x²−4)/(x−2) (x≠2), g(2)=−3일 때 limx→2g(x)를 구하자.
x≠2에서 g(x)=x+2이므로 극한은 4이다. g(2)=−3과 극한값 4는 서로 다르지만, 좌극한과 우극한이 모두 4이므로 극한은 존재한다.
이처럼 진천동과외 수업에서도 함수값, 좌극한, 우극한을 별도 칸에 적으면 한 점의 값과 주변의 접근값을 혼동하는 실수를 줄일 수 있다.
최종 확인
- f(a)는 x=a에서 실제로 정한 값이다.
- 극한은 x가 a가 아닌 상태에서 a에 가까워질 때의 값이다.
- 좌극한과 우극한이 같아야 양쪽 극한이 존재한다.
- 함수값과 극한값이 달라도 극한은 존재할 수 있다.