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진천동 고2수학과외

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학생 풀이 기록에서 드러난 첫 오류

학생은 다음 함수를 보고 “x=1에서 식이 정의되므로 극한도 f(1)과 같다”고 적었다.

f(x) = (x²−1)/(x−1) (x≠1), f(1)=5

하지만 x≠1일 때 식을 정리하면 f(x)=x+1이므로, x가 1에 가까워질수록 함수값은 2에 가까워진다. 따라서 f(1)=5라는 실제 함수값과 limx→1f(x)=2라는 극한값은 다르다.

세 항목을 따로 기록하기

구분의미
좌극한limx→1−f(x)=2왼쪽에서 접근하는 값
우극한limx→1+f(x)=2오른쪽에서 접근하는 값
함수값f(1)=5x=1에서 실제로 정한 값

좌극한과 우극한이 모두 2이므로 극한은 2로 존재한다. 함수값 5는 극한을 자동으로 결정하지 않는다.

점 하나를 바꾼 뒤에도 극한은 유지되는가

이번에는 같은 주변식을 사용하면서 x=1에서의 값만 바꿔 보자.

교정 전후 풀이 비교

교정 전: f(1)=5이므로 limx→1f(x)=5라고 판단한다.

교정 후: 극한에서는 x=1의 함수값이 아니라 x가 1이 아닌 주변에서 어떤 값에 가까워지는지 확인한다.

따라서

(x²−1)/(x−1)=(x−1)(x+1)/(x−1)=x+1 (x≠1)

이므로 limx→1f(x)=limx→1(x+1)=2이다.

새 문제로 확인하기

g(x)=(x²−4)/(x−2) (x≠2), g(2)=−3일 때 limx→2g(x)를 구하자.

x≠2에서 g(x)=x+2이므로 극한은 4이다. g(2)=−3과 극한값 4는 서로 다르지만, 좌극한과 우극한이 모두 4이므로 극한은 존재한다.

이처럼 진천동과외 수업에서도 함수값, 좌극한, 우극한을 별도 칸에 적으면 한 점의 값과 주변의 접근값을 혼동하는 실수를 줄일 수 있다.

최종 확인

  • f(a)는 x=a에서 실제로 정한 값이다.
  • 극한은 x가 a가 아닌 상태에서 a에 가까워질 때의 값이다.
  • 좌극한과 우극한이 같아야 양쪽 극한이 존재한다.
  • 함수값과 극한값이 달라도 극한은 존재할 수 있다.

진천동 고2수학과외 학부모 후기

시험 범위가 나온 날 저녁, 아이 문제집을 잠깐 펼쳐봤다가 여백에 작은 표시가 있는 걸 보게 됐어요. 답을 틀렸다는 표시가 아니라 계산이 꼬이기 시작한 자리만 짚어 놓았더라고요. 진천동 수학과외 관련해서 이야기를 나누던 중에도 이런 변화가 눈에 들어와서 잠시 보게 됐습니다. 예전에는 해설이나 정답을 먼저 확인하고 나면 처음에 어떻게 풀었는지는 거의 다시 살피지 않았거든요. 그런데 이번에는 자기 계산을 따라가다가 실수가 생긴 부분을 따로 남겨 두고 있었습니다. 며칠 뒤 다른 계산 문제를 풀 때도 같은 자리에 표시를 해 두었고, 나중에 문제집을 펼치면 바로 찾을 수 있게 위치까지 신경 쓴 모습이 보이더라고요.

★★★★★학부모 후기

수업이 없는 평일 저녁에도 아이가 계산을 끝낸 뒤 바로 답을 보지 않고, 처음 했던 과정과 다른 방법으로 마지막 결과를 다시 확인하더라고요. 확인한 흔적을 지우지 않은 채 책을 덮는 모습까지 보였습니다. 진천동 수학과외 후기를 읽다가 떠올랐던 예전 모습과는 조금 달랐어요. 새 학기 첫 수학시험을 앞두고 공부하던 날에는 문제를 마무리하기 전에 계산 결과를 한 번 더 살폈습니다. 처음과 같은 줄을 반복한 게 아니라 다른 방식으로 확인하고 있더라고요. 예전에는 풀고 나서 마음에 걸리는 부분이 있어도 따로 표시를 남기는 일이 거의 없었는데, 이번에는 남은 의문을 표시해 두었습니다. 마지막에는 지워지지 않은 계산 흔적과 표시가 문제집에 그대로 남아 있었습니다.

★★★★☆학부모 후기

진천동에서 수학 과외를 시작하기 전에는 저녁만 되면 책상에 앉는 것부터 싫었고, 어려운 문제는 틀린 이유보다 답부터 확인하려 했습니다. 시험 전 마지막 주말에는 궁금한 내용을 스스로 적어 갔는데, 선생님께서 사소한 질문도 왜 궁금했는지 먼저 들어 주셔서 편하게 물어볼 수 있었습니다. 숙제가 많다고 느껴질 때도 먼저 말하게 된 것이 가장 큰 변화였습니다.

★★★★★학부모 후기

진천동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 어려운 문제를 만나도 예전처럼 바로 손을 놓지 않고 모르는 부분을 먼저 말하는 모습이 눈에 띄었습니다. 선생님은 집중이 흐트러지면 같은 설명만 반복하지 않고 문제나 활동을 바꾸며 아이가 따라올 수 있게 수업 속도를 조절해 주셨고, 시험 범위를 받은 뒤에는 틀린 문제를 다시 살펴보도록 차분히 이끌어 주셨습니다. 성적보다 먼저 공부를 시작할 때 느끼던 부담이 줄어든 점이 가장 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

진천동에서 수학 과외를 시작한 뒤에도 아이는 완벽하게 하려는 마음에 틀린 문제를 다시 보지 않고 넘기곤 했습니다. 학교 과제와 과외 숙제가 겹친 날에도 선생님은 쉬운 문제부터 함께 풀며 편안하게 말을 걸고, 답보다 이해한 과정을 먼저 살펴주셨습니다. 요즘은 틀린 문제를 바로 포기하지 않고 한 번 더 생각해보는 모습이 보여 부모로서 마음이 놓입니다.

★★★★★학부모 후기