진천동 고1수학과외
진천동 고1수학과외, 원순열에서 자리의 기준을 세운 사례
원탁에 서로 다른 학생 5명을 앉히는 문제에서 학생은 5명을 일렬로 세운 뒤 경우의 수를 계산해 \(5!\)을 답으로 적었다. 원탁에서는 회전해서 같은 배치가 하나의 경우로 취급된다는 점을 놓친 것이다.
일렬 배열과 원탁 배열을 구분한 순간
교정할 때 여러 공식을 비교하기보다 한 사람을 기준 자리에 고정했다. 나머지 4명이 그 주변에 배치되므로 경우의 수는 \(4!\)이고, 일반적으로 서로 다른 \(n\)명을 원탁에 앉히는 원순열은 \((n-1)!\)로 정리된다는 점을 확인했다.
회전하여 서로 겹치는 배치를 중복해서 세고 있지 않은가?
조건이 붙은 원탁 배열로 바꾸어 보기
이후에는 6명이 원탁에 앉되 특정한 두 사람이 이웃해야 하는 문제를 제시했다. 두 사람을 하나의 묶음으로 보고, 묶음과 나머지 사람을 원탁에 배치한 뒤 두 사람의 순서를 따로 고려하게 했다. 단순히 \(5!\)에서 임의로 값을 빼는 방식이 아니라, 이웃 조건이 배열 단위를 어떻게 바꾸는지 먼저 판단했다.
학생은 원탁의 회전 중복을 제거하기 위해 한 사람을 고정한 뒤, 남은 대상의 수와 묶음의 방향을 구분해 \(2\times4!\)로 계산했다.
새 표현에서 중복 여부를 다시 확인하다
마지막에는 좌석 번호가 표시된 원형 배치와 표시가 없는 원탁 배치를 나란히 보여 주었다. 좌석 번호가 있으면 회전한 배치도 다른 배치가 될 수 있으므로 \((n-1)!\)을 바로 적용할 수 없다는 점을 판별하게 했다. 학생은 자리의 구분 여부를 먼저 확인한 뒤, 표시 없는 원탁에서만 회전 중복을 제거해야 한다고 설명하며 풀이를 마무리했다.