진천동 고3수학과외

선택지에서 거꾸로 올라가며 찾은 첫 판단의 흔들림

진천동 생활권에서 대구고3수학과외를 진행하던 중, 학생의 오답 노트를 살펴보다가 계산보다 앞선 판단이 문제였던 사례를 확인했다. 문항은 다음과 같았다.

정수 \(n\)에 대하여 \(1\le n\le 6\)이고 \(n^2-7n+12\le0\)일 때, 가능한 \(n\)의 개수는?

• ① 2　② 3　③ 4　④ 5　⑤ 6

학생은 답을 ③으로 표시했다. 선택지 ③에서 출발해 가능한 정수가 2, 3, 4, 5였다고 거꾸로 설명했지만, 실제 식을 다시 확인하면 \(n^2-7n+12=(n-3)(n-4)\)이고 부등식의 해는 \(3\le n\le4\)이다. 정수 조건까지 적용하면 3과 4, 즉 2개이므로 정답은 ①이다.

정답보다 먼저 확인해야 할 줄

학생에게 풀이를 처음부터 다시 쓰게 하지 않고, ③을 만들기 위해 어느 줄이 필요했는지 역으로 표시하게 했다. 학생은 인수분해와 부등호 계산은 맞게 적었지만, \((n-3)(n-4)\le0\)에서 해를 \(3\le n\le5\)로 옮겨 적은 부분을 발견했다. 처음에는 “5를 세는 과정에서 실수했다”고 말했으나, 실제 최초 오류는 그보다 앞선 해의 오른쪽 경계를 원래 인수의 근이 아닌 제한조건 6과 혼동한 것이었다.

선택지 ③을 맞추려는 과정에서 \(1\le n\le6\)을 부등식 해와 합쳐 보지 않고, 자연수 범위 안에서 임의로 네 값을 남겼던 것이다. 뒤의 개수 세기는 그 잘못된 범위를 그대로 따른 결과였다.

한 줄의 근거를 되살리는 교정

교정은 두 단계로 제한했다. 먼저 부등식 바로 옆에 “경계는 인수의 근: 3, 4”라고 적게 했다. 이어 결론에서 거꾸로 올라가며 “왜 5를 포함했는가?”를 묻고, \(n=5\)를 원래 식에 대입하게 했다.

\[ 5^2-7\cdot5+12=25-35+12=2>0 \]

따라서 5는 조건을 만족하지 않는다. 학생은 답의 개수부터 고치는 대신, 선택지 ③을 만들었던 첫 근거가 원래 부등식과 맞지 않는다는 점을 찾아 수정했다. 이때 풀이 노트에는 ‘선택지-결론-초기조건’의 세 칸만 두고, 중간 계산은 다시 전부 작성하지 않았다.

9월 모의평가 오답에서도 같은 방식으로 정답 선택지에서 역추적하게 했다. 학생은 처음에는 마지막 계산 줄에 표시하려 했지만, “이 범위를 처음 만든 식은 무엇인가?”라는 질문 뒤 인수의 근을 잘못 옮긴 줄을 바로 골라냈다. 대구고3수학과외 수업에서 확인한 변화는 정답을 외우는 것이 아니라 풀이의 출발 근거를 찾아가는 속도였다.

조건을 숨긴 변형에서의 재적용

며칠 뒤에는 숫자만 바꾸지 않고 표현을 바꾸었다.

정수 \(m\)이 \(0\le m\le7\)을 만족하고, \(m^2-9m+20\le0\)일 때 가능한 \(m\)의 개수를 구하여라. 단, 보기에는 해의 구간만 제시되어 있다.

• ① [2, 4]　② [2, 5]　③ [0, 7]　④ [4, 5]

이번에는 정답을 먼저 알려 주지 않고 보기의 구간을 선택하게 했다. 학생은 \(m^2-9m+20=(m-4)(m-5)\)를 확인한 뒤, 부등식의 해가 \(4\le m\le5\)라고 판단하여 ④를 골랐다. 이어 정수 조건을 적용하면 실제 값은 4와 5뿐이라는 근거도 덧붙였다. 보기의 구간 표현이 앞 문제와 달라졌지만, 경계값을 인수에서 찾는 행동은 유지되었다.

힌트 없이 남은 판단

다음 날에는 새로운 수치 \(x^2-11x+30\le0,\;2\le x\le9\)를 제시하고, 오답 풀이가 섞인 선택지 중 가장 먼저 고칠 부분을 찾게 했다. 학생은 선택지의 개수부터 고르지 않고 \((x-5)(x-6)\)을 적은 뒤 “부등식 해의 경계는 5와 6이므로 제한조건의 끝점 9를 경계로 사용할 수 없다”고 설명했다. \(x=9\)를 원식에 대입해 양수가 되는 것도 확인했다.

시험 종료 20분 전을 가정해 풀이 중간 줄을 가린 뒤에도 학생은 결론에서 초기조건으로 거슬러 올라가 사용하지 않은 조건을 찾아냈다. 선택지를 맞혔다는 사실보다, 처음 판단의 근거를 원식과 대조하고 반례를 만들어 제거하는 절차가 스스로 나온 점을 최종 기준으로 삼았다.