상인동 중3수학과외

상인동 중3수학과외에서 살펴본 근호 곱셈의 첫 판단

상인동과외 수업에서 주말 누적복습 풀이를 한 장씩 확인했습니다. 영남중학교, 상원중학교, 상인중학교가 포함된 생활권에서 중3수학을 복습할 때도 문제를 많이 푸는 것보다, 틀린 식이 시작된 지점을 정확히 찾는 일이 중요합니다. 비둘기아파트와 레이크뷰행복작은도서관 인근 생활권을 예로 들어 만든 다음 문제를 함께 살펴보았습니다.

다음을 계산하여 가장 간단한 근호의 곱으로 나타내시오.
\(3\sqrt{10}\times 2\sqrt{15}\)

학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.

\(3\sqrt{10}\times2\sqrt{15}=6\sqrt{25}=30\)

마지막 답 \(30\)만 보고 “계산을 틀렸다”고 하면 오류의 위치를 놓치게 됩니다. 실제로는 \(3\times2=6\), \(\sqrt{10}\times\sqrt{15}=\sqrt{150}\)까지 생각한 흔적이 있었지만, 그 두 부분을 계산하는 순간 근호 밖의 수와 근호 안의 수를 섞었습니다.

완성된 풀이를 거꾸로 읽어 찾은 갈림길

주말 누적복습에서 학생은 완성된 풀이를 뒤에서부터 읽었습니다. \(30\)을 만들려면 바로 앞줄의 \(6\sqrt{25}\)가 필요하고, 그 식을 만들려면 \(10\)과 \(15\)를 더하거나 곱하는 방식이 문제의 핵심이 됩니다. 여기서 학생이 표시한 대상은 ‘근호 밖 계수와 피근수의 곱’이었습니다.

곱셈의 성질에 따라 계수는 계수끼리, 피근수는 피근수끼리 묶어야 합니다.

\(3\sqrt{10}\times2\sqrt{15} =(3\times2)(\sqrt{10}\times\sqrt{15})\)
\(=6\sqrt{10\times15}=6\sqrt{150}\)
\(=6\sqrt{25\times6}=30\sqrt6\)

따라서 가장 먼저 어긋난 판단은 \(\sqrt{10}\)과 \(\sqrt{15}\)를 계산하면서 계수 \(3,2\)와 피근수 \(10,15\)를 한 번에 섞은 것입니다. \(6\sqrt{25}\)라는 중간식 뒤에서 생긴 계산 실수보다 앞선, 최초의 판단 오류였습니다.

앞줄을 보존한 채 바꾼 한 가지 행동

교정할 때 풀이 전체를 지우고 다시 쓰지 않았습니다. 이미 맞게 계산한 \(3\times2=6\)은 그대로 두고, 근호 부분만 따로 적도록 했습니다. 즉, 다음 한 줄을 반드시 거치게 했습니다.

계수끼리 곱하고, 피근수끼리 곱한다.
\(3\sqrt{10}\times2\sqrt{15} =(3\times2)\sqrt{10\times15}\)

그 뒤 \(6\sqrt{150}=6\sqrt{25\cdot6}=30\sqrt6\)으로 정리했습니다. 이 교정은 다른 풀이법을 추가한 것이 아니라, 처음 식에서 두 종류의 수를 분리해 쓰는 행동 하나만 고친 것입니다. \(30\)과 \(30\sqrt6\)이 다르다는 점도, \(6\sqrt{25}\)에서 \(\sqrt{25}=5\)를 적용하면 \(6\times5=30\)이 된다는 점도 각각 확인했습니다. 문제는 \(6\sqrt{25}\)를 만든 과정에 있었습니다.

표현을 바꾼 한 줄 문제

며칠 뒤에는 숫자만 바꾼 식 대신, 한쪽 항의 모양을 바꾸어 제시했습니다.

\( \sqrt{12}\times(-2\sqrt{18})\)을 가장 간단한 근호의 곱으로 나타내시오.

학생은 먼저 마이너스 부호를 계수에 포함해

\(\sqrt{12}\times(-2\sqrt{18})=(-2)(\sqrt{12}\times\sqrt{18})\)

라고 적었습니다. 이어서 계수와 피근수를 분리한 뒤

\((-2)\sqrt{12\cdot18}=(-2)\sqrt{216} =(-2)\sqrt{36\cdot6}=-12\sqrt6\)

으로 완성했습니다. 이번에는 부호가 붙은 계수와 근호 안의 수가 서로 다른 위치에 있어도, 계수끼리와 피근수끼리 묶는 기준을 유지했습니다. 표현은 달라졌지만 확인한 내용은 근호가 있는 수의 곱셈에서 피근수를 정리하는 한 가지 개념뿐입니다.

힌트 없이 다시 세운 검산

마지막에는 풀이 중간을 가리지 않고 새 문제를 제시하지 않았습니다. 문제와 답만 주고 스스로 기준을 선택하게 했습니다.

\(4\sqrt{6}\times\sqrt{24}\)를 계산하고, 곱셈 전후의 값을 비교하여 검산하시오.

학생은 먼저

\(4\sqrt6\times\sqrt{24}=4\sqrt{6\cdot24} =4\sqrt{144}=48\)

이라고 설명했습니다. 이어 원래 식의 곱을 따로 확인했습니다. \(\sqrt6\cdot\sqrt{24}=\sqrt{144}=12\)이므로 \(4\times12=48\)이고, 정리한 식 역시 \(48\)이라고 말했습니다. “계수 \(4\)는 그대로 계수로 두고, 두 피근수 \(6,24\)만 곱했기 때문에 같은 값이 나와야 한다”는 이유와 검산 근거도 함께 제시했습니다.

상인동중3수학과외에서 확인한 변화는 정답 하나가 아닙니다. 새 식에서도 먼저 계수와 피근수를 분리하고, 그 뒤 피근수의 곱을 근호 안에서 정리하는 판단을 힌트 없이 재현했다는 점입니다.