상인동 중1수학과외

상인동 중1수학과외에서 이어진 최대공약수와 최소공배수 풀이

상인동과외 수업에서 학생은 영남중학교와 상원중학교, 상인중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 서술형 문제를 풀었다. 문제는 두 신호가 각각 18분과 24분 간격으로 울릴 때 다시 동시에 울리는 시각을 묻고, 18과 24를 소인수의 곱으로 나타내어 이유까지 쓰게 하는 내용이었다. 계산보다 먼저 확인할 것은 두 수에서 어떤 공통 기준을 찾는지, 또는 두 수를 모두 포함하는 가장 작은 수를 찾는지였다.

답이 틀어진 지점을 식에서 거꾸로 찾다

학생은 종이에 다음과 같이 적었다.

18=2×3×3, 24=2×2×2×3
공통으로 들어 있는 수는 2×3=6
따라서 다시 만나는 시간은 6분

18과 24의 소인수분해 자체는 맞았지만, 첫 문장을 쓰기 전에 문제의 질문을 다시 읽지 않은 것이 오류의 시작이었다. ‘두 신호가 다시 동시에 울리는 때’는 두 간격으로 나누어떨어지는 시간을 찾는 질문이다. 공통으로 들어 있는 인수만 골라 가장 크게 만드는 최대공약수와 달리, 두 수를 모두 배수로 갖는 가장 작은 수를 구해야 하므로 최소공배수에 해당한다.

계산 뒤에 생긴 6이라는 결과가 틀렸다는 사실보다 중요한 것은, 학생이 ‘공통으로 들어 있는 수’를 보자마자 최대공약수 방식으로 첫 판단을 고정했다는 점이었다. 이미 적은 소인수분해는 그대로 활용할 수 있었고, 선택 기준만 문제의 표현에 맞게 바로잡았다.

두 수의 인수와 지수를 따로 살펴본 과정

학생은 두 수를 다시 세로로 맞춰 적고, 같은 소수의 개수를 비교했다.

18=2×3×3=2×3²
24=2×2×2×3=2³×3

최소공배수는 각 소수가 두 수 중 더 많이 나타난 횟수만큼 포함해야 한다고 말하며 2는 세 번, 3은 두 번 선택했다. 따라서 최소공배수는 2³×3²=8×9=72였다. 같은 판단을 곱셈으로도 확인했다. 72÷18=4이고 72÷24=3이므로 72는 두 간격의 공배수였다. 반면 6은 24로 나누어지지 않아 동시에 울리는 시간으로 사용할 수 없었다.

이때 답안에 단순히 ‘최소공배수는 72’라고 쓰지 않고, “두 신호가 다시 함께 울리는 시간은 두 간격의 공배수 중 가장 작은 값이므로 최소공배수를 구한다”라고 첫 식 앞에 근거를 덧붙였다. 상인동중1수학과외 수업에서는 바로 이 한 문장이 계산 방향을 결정한다는 점을 풀이의 중심에 두었다.

표현이 달라진 문제에서 같은 판단을 세우기

다음 문제는 숫자를 바꾼 문제가 아니었다. 빨간 불은 20초마다, 파란 불은 30초마다 켜진다는 상황을 표로 제시하고, 두 불이 함께 켜지는 순간을 물었다. 학생은 표의 첫 열에 빨간 불의 시각을 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120으로 적고, 둘째 열에는 파란 불의 시각을 0, 30, 60, 90, 120으로 적었다.

그 뒤 두 열에서 겹치는 수를 찾는 방식으로 60과 120을 표시했다. 가장 먼저 겹치는 양의 시각이 60이므로 최소공배수를 구하는 문제라고 설명했다. 이어 20=2²×5, 30=2×3×5로 나타내고, 더 많이 필요한 인수를 골라 2²×3×5=60이라고 다시 계산했다. 식으로 주어졌던 문제를 표의 대응 시각으로 바꾸어도 판단이 달라지지 않는지 확인한 셈이다.

힌트 없이 원래 오류까지 검산한 순간

수업 끝부분에는 새로운 조건을 제시했다. 12분마다 울리는 종과 18분마다 울리는 종이 오전 9시에 함께 울릴 때, 다음 동시 시각을 구하고 풀이 이유를 쓰는 문제였다. 학생은 도움 없이 먼저 “다시 함께 울리는 때이므로 최소공배수”라고 적었다. 이어 12=2²×3, 18=2×3²에서 2²×3²=36을 구하고, 9시에서 36분 뒤인 9시 36분이라고 답했다.

마지막으로 36을 원래 수와 비교했다. 36=12×3이고 36=18×2이므로 두 간격의 배수이며, 12와 18의 작은 공배수인 18은 12로 나누어지지 않아 조건을 만족하지 못한다고 설명했다. 학생은 처음 6을 답으로 썼던 장면도 떠올리며, 공통 인수만 골라야 하는지 두 수를 모두 포함하는 배수를 찾아야 하는지에 따라 최대공약수와 최소공배수의 선택이 달라진다고 스스로 정리했다.

이처럼 오류를 계산 결과에서 멈추지 않고 첫 판단으로 되돌아가 확인하면, 인수와 지수를 이용한 계산, 문제의 질문 해석, 원래 수로의 검산이 하나의 풀이 흐름으로 연결된다.

상인동 중1수학과외 학부모 후기

방학 숙제를 하던 오전에 잠깐 방에 들어갔다가 아이가 답지를 옆에 두고도 바로 펼치지 않는 모습을 보게 됐어요. 전에 틀린 문제를 보면 계산 전체를 살피기보다는 눈에 띄는 한 부분만 대충 확인하고 넘어가는 일이 많았거든요. 그런데 그날에는 자기가 적어 둔 계산을 아래 줄부터 차례로 거슬러 올라가며 보고 있더라고요. 상인동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 꽤 인상적으로 남았어요. 답을 맞혔는지 먼저 확인하는 게 아니라, 어디에서 흐름이 달라졌는지 계산한 흔적을 따라가는 모습이었어요. 이후 다른 계산 숙제를 꺼냈을 때도 해설을 먼저 찾지 않고 적어 둔 식을 한 줄씩 다시 살폈습니다. 확인을 마친 자리에는 크게 고치거나 지우지 않고 조그맣게 표시 하나만 해두었어요.

★★★★☆학부모 후기

방학 중 다른 교재를 풀던 오전에 해설과 자기 풀이를 번갈아 보더라고요. 답을 맞혔는지부터 확인하는 게 아니라, 두 풀이가 처음 달라지는 한 줄을 찾아 그 부분에만 필요한 흔적을 남겼어요. 잠시 문제 전체를 다시 훑을 줄 알았는데, 비교할 곳을 정한 뒤에는 그 자리에서 멈췄습니다. 상인동 수학과외를 알아볼 때도 아이가 실제로 어떻게 문제를 보는지가 궁금했거든요. 학교에서 돌아와 책상을 펴던 날에는 잠깐 방에 들어가 보니 해설지와 자기 풀이를 나란히 두고 한 줄만 대조하고 있더라고요. 예예전에는 풀이 과정에 표시를 해도 맞았는지 틀렸는지를 구분하는 정도였는데, 그날에는 결과보다 풀이가 갈라진 지점을 먼저 보고 있더라고요. 방학 교재에서도 같은 식으로 처음 어긋난 한 줄을 찾아낸 뒤, 필요한 부분만 남겨 둔 채 책을 정리했습니다._久久爱

★★★★★학부모 후기

새 수학 노트로 옮겨 적은 날이었어요. 아이가 다음 일정에 볼 부분을 정리하다가, 답은 맞았는데 검산을 못 한 문제만 따로 접어 두더라고요. 맞았으니 그냥 넘어갈 줄 알았는데 손이 한 번 더 가는 게 의외였어요. 예전에는 다시 확인할 문제를 표시해 두지 않아서 노트를 펼치면 앞에서부터 전부 찾아야 했거든요. 상인동 수학과외를 알아보며 여러 가지를 살펴보던 때보다, 집에서 노트를 쓰는 장면이 더 또렷하게 보이더라고요. 표시 하나로 어디를 다시 봐야 하는지 구분해 둔 모습이었습니다. 학교 숙제를 끝낸 뒤에는 검산이 필요한 문제만 골라 표시해 놓았고, 확인하지 못한 부분도 따로 눈에 띄게 해 두었어요. 답이 맞았는지보다 검산을 했는지를 나눠서 보고 있더라고요.

★★★★☆학부모 후기

수업을 마친 뒤 아이가 “이번에는 내가 어디서 막혔는지 알겠어”라며 문제를 다시 풀어보는 모습이 기억에 남았습니다. 상인동에서 과외를 시작할 때만 해도 어려운 문제 하나에 오래 매달렸는데, 선생님이 정답보다 풀이 과정을 먼저 말하게 하고 이해한 만큼 숙제를 정하도록 도와주셨습니다. 요즘은 공부할 양을 직접 확인하고, 막히면 다음 문제로 넘어갔다가 다시 돌아오는 여유도 생겼습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 범위를 처음 확인한 날, 아이가 예전처럼 수학 숙제를 미루지 않고 수업 후 복습할 부분을 먼저 살펴보는 모습이 눈에 들어왔습니다. 상인동 과외 선생님은 막히는 문제도 바로 답을 주지 않고 생각할 시간을 주며, 그날 할 일과 다음에 확인할 내용을 나누어 안내해 주셨습니다. 요즘은 평일 저녁이면 질문할 것을 표시해 두고 수업을 기다리는 모습도 보여 마음이 놓입니다.

★★★★★학부모 후기

주말이면 숙제부터 미루던 아이가 요즘은 지난 수업에서 할 일을 먼저 확인하고 공부를 시작합니다. 상인동에서 과외를 시작한 뒤 선생님께서는 모르는 문제를 바로 풀어주시기보다 어디까지 생각했는지 차분히 물어보고, 막힌 부분은 서두르지 않고 함께 짚어 주셨습니다. 질문을 귀찮아하지 않는 분위기 덕분인지 이제는 모르는 문제를 그대로 지나치지 않고 풀이 과정을 말해보려는 모습이 보여 좋게 느껴집니다.

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