본리동 중3수학과외

본리동 중3수학과외, 근호 곱셈에서 먼저 나눠 보는 습관

본리동과외 수업에서 근호가 있는 수의 곱셈을 다루던 중, 학생의 답안 한 줄이 눈에 들어왔습니다. 문제는 2√6 × 3√15를 간단히 나타내는 것이었습니다.

답안에 남은 첫 번째 판단

학생은 문제를 보자마자 다음과 같이 적었습니다.

2√6 × 3√15 = √(2×6×3×15) = √540

이후 √540을 √(54×10)으로 바꾸고, 3√60까지 정리했습니다. 마지막 결과도 더 간단히 만들 수 있지만, 여기서 중요한 것은 마지막 계산 실수가 아닙니다. 근호 밖의 수 2, 3과 근호 안의 수 6, 15를 처음부터 한 덩어리처럼 섞었다는 판단이 계산이 어긋난 최초의 지점이었습니다.

학생은 서술형 답안에 “근호 밖 계수와 피근수를 모두 곱한다”고 이유를 적었습니다. 그러나 이 문제에서 먼저 확인해야 할 대상은 두 종류였습니다. 근호 밖에 있는 계수끼리, 그리고 근호 안에 있는 피근수끼리입니다. 이 구분이 사라지면 식의 모양을 바꾸는 과정에서 무엇을 곱했는지 추적하기 어려워집니다.

한 줄의 기준만 바꾸기

풀이 전체를 다시 외우게 하지 않고, 잘못된 첫 판단만 고쳤습니다. 계산을 시작하기 전에 식에 표시를 하도록 했습니다.

• 근호 밖: 2×3
• 근호 안: 6×15

그 표시를 바탕으로 첫 줄을 다음처럼 바꾸었습니다.

2√6 × 3√15 = (2×3)√(6×15) = 6√90

이제 피근수 90에서 9를 찾아 √90=√(9×10)=3√10으로 정리하므로

6√90 = 6×3√10 = 18√10

이전 풀이에서 계산하려 했던 방향을 모두 버린 것이 아닙니다. 다만 계수와 피근수를 분리한 뒤, 피근수 안에서 제곱수 9를 찾아 정리했습니다. 처음 한 줄의 구조만 바로잡자 뒤의 계산은 훨씬 짧고 분명해졌습니다.

표현을 바꾼 연습 문제

같은 기준이 숫자만 달라진 문제에서만 작동하는지 확인하기 위해 식의 모양을 바꾸었습니다.

(-√5) × (4√20)을 간단히 하되, 먼저 어떤 수끼리 묶을지 식으로 나타내라는 문제였습니다. 이번에는 계수 4와 부호를 근호 밖에 두고, 피근수 5와 20을 근호 안에 두어 다음처럼 시작해야 합니다.

(-√5) × (4√20) = (-1×4)√(5×20) = -4√100

√100=10이므로 결과는 -40입니다. 여기서도 -1과 4를 계수끼리 곱하고, 5와 20을 피근수끼리 곱했습니다. 음수가 들어갔지만 새 규칙을 추가한 것이 아니라, 같은 분리 기준을 식의 다른 위치에 적용한 것입니다. 학생은 계산 전에 두 묶음을 표시한 뒤, “밖의 수와 안의 수를 각각 곱한다”고 짧게 설명했습니다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

마지막에는 풀이 순서를 말해 주지 않고 다음 문제만 제시했습니다.

3√8 × 2√18을 가장 간단한 꼴로 나타내고, 자신이 세운 식이 맞는지 계산 전후의 구조로 확인하시오.

학생은 잠시 식을 바라본 뒤 근호 밖에 3×2, 근호 안에 8×18을 표시했습니다.

3√8 × 2√18 = (3×2)√(8×18) = 6√144 = 6×12 = 72

검산할 때도 처음 식을 무리하게 근삿값으로 바꾸지 않았습니다. √8=2√2, √18=3√2로 각각 정리하면

3√8 × 2√18 = 3×2√2 × 2×3√2 = 36×(√2×√2) = 36×2 = 72

라고 확인했습니다. 두 계산에서 계수는 계수끼리, 피근수는 피근수끼리 처리되어 같은 값이 나왔습니다. 본리동중3수학과외에서 확인하고 싶은 변화도 바로 이 지점입니다. 답만 맞힌 것이 아니라, 새로운 곱셈식에서도 근호 밖과 안을 먼저 구분해야 하는 이유를 스스로 설명하고 검산까지 완성했습니다.