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본리동 중1수학과외

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조건을 읽고 최대공약수와 최소공배수를 가르는 풀이

본리동 생활권에는 월성주공2단지와 대구월배2차IPARk처럼 여러 생활 공간이 함께 있고, 성당중학교와 새본리중학교가 포함된 지역에서 중1 수학을 지도하다 보면 수의 계산보다 조건을 잘못 읽어 풀이가 흔들리는 경우를 자주 만납니다. 이번 학생의 문제도 인수분해 계산 자체보다 최대공약수와 최소공배수 중 무엇을 선택해야 하는지가 핵심이었습니다.

칠판에 남아 있던 첫 식

문제에는 84와 126을 이용해 “두 수로 나누어떨어지는 가장 작은 수”를 구하라고 되어 있었습니다. 학생은 두 수를 바로 소인수분해하지 않고 84×126을 먼저 적은 뒤, “공통으로 들어 있는 수를 찾는 것이니 최대공약수”라고 판단했습니다. 이어서 84를 2²×3×7, 126을 2×3²×7로 나타내고 지수를 비교하려 했지만, 어떤 값을 골라야 하는지 설명하지 못한 채 계산을 멈췄습니다.

풀이가 어긋난 최초의 지점은 곱셈을 시작한 일이 아니라 ‘두 수로 나누어떨어지는 가장 작은 수’라는 조건을 최대공약수의 뜻으로 읽은 것이었습니다. 학생은 ‘공통’이라는 낱말만 보고 최대공약수를 선택했지만, 공약수는 두 수를 나누는 수이고 문제에서 구하는 수는 두 수의 배수였습니다.

조건을 수의 관계로 다시 표시하기

계산을 지우기보다 문제의 핵심 표현에 밑줄을 그었습니다.

  • 두 수로 나누어떨어지는 수 → 84와 126의 공배수
  • 그중 가장 작은 수 → 최소공배수

그다음 소인수분해를 나란히 적었습니다.

84＝2²×3×7
126＝2×3²×7

두 수의 배수가 되려면 2, 3, 7이 빠짐없이 들어 있어야 합니다. 따라서 각 소인수의 지수 중 큰 것을 선택하여 2²×3²×7을 만들었습니다. 계산하면 4×9×7＝252이므로 최소공배수는 252입니다.

학생이 선택을 확인할 수 있도록 252를 원래 두 수로 나누었습니다. 252÷84＝3, 252÷126＝2로 모두 나누어떨어졌습니다. 반대로 공통 인수에 해당하는 42는 84와 126을 나눌 수 있지만, 문제에서 요구한 ‘두 수로 나누어지는 수’가 아니므로 이 문제의 답이 될 수 없다는 점도 함께 표시했습니다.

문제의 모양이 바뀌어도 같은 판단하기

다음에는 숫자를 단순히 바꾸지 않고 질문의 방향을 바꾸었습니다. “84분마다 울리는 알림과 126분마다 울리는 알림이 오전 9시에 동시에 울렸다. 다시 동시에 울리는 가장 빠른 시각은 언제인가?”라는 문장형 문제를 제시했습니다.

학생은 먼저 표를 만들었습니다.

알림몇 분 뒤
첫 번째84의 배수
두 번째126의 배수

그리고 ‘다시 동시에’라는 말은 두 배수 목록에서 처음 겹치는 값을 찾는다는 뜻이라고 적었습니다. 84와 126을 다시 소인수분해한 뒤 각 소인수의 지수를 큰 쪽으로 맞추어 252분을 얻었습니다. 252분은 4시간 12분이므로 오전 9시에서 4시간 12분 뒤인 오후 1시 12분이라고 답했습니다. 이번에는 생활 상황 속 문장을 공배수 조건으로 바꾸어 불필요하게 최대공약수를 후보에 넣지 않았습니다.

힌트 없이 이루어진 재현

검증 문제에서는 “두 리본 72cm와 120cm를 남김없이 똑같은 길이로 자를 때, 자를 수 있는 가장 긴 한 조각의 길이”를 물었습니다. 학생은 ‘가장 긴 한 조각’과 ‘두 길이를 남김없이 나눈다’를 읽고 이번에는 최대공약수를 선택했습니다.

72＝2³×3², 120＝2³×3×5라고 직접 정리한 뒤, 공통으로 포함된 소인수만 골라 2³×3＝24를 구했습니다. 이어 72÷24＝3, 120÷24＝5를 계산해 두 길이가 모두 24cm 조각으로 나누어지는지 확인했습니다. 학생은 “나누어지는 수를 구하면 공약수, 두 수로 나누어지는 수를 구하면 공배수이며, 가장 작거나 큰지에 따라 선택이 달라진다”고 설명했습니다.

두 수를 소인수분해하기 전에 ‘구하는 수가 두 수를 나누는가, 두 수가 그 수를 나누는가’를 먼저 읽는다.

본리동과외 수업에서 이 학생은 계산 결과만 적지 않고 조건을 공약수 또는 공배수의 관계로 바꾼 뒤 선택 근거를 한 줄로 남겼습니다. 이후 본리동중1수학과외 풀이에서도 소인수와 지수의 크기를 확인하고, 구한 값을 원래 조건에 다시 넣어 검산하는 순서를 스스로 재현했습니다.

본리동 중1수학과외 학부모 후기

시험이 끝난 다음 날 저녁, 아이가 답지를 옆에 두고도 바로 펼치지 않더라고요. 전에 적어 둔 계산을 아래 줄부터 차례로 살펴보면서 어디서 흐름이 달라졌는지 확인하고 있더라고요. 예예전에는 채점이 끝나면 다시 볼 부분을 따로 남겨 두지 않고 그대로 넘겼거든요. 본리동 수학과외 이야기를 나누며 교재를 정리하던 때라 우연히 그 모습을 보게 됐는데, 답을 맞혔는지보다 자기 계산 과정을 먼저 보고 있는 점이 눈에 들어왔어요. 한 줄씩 손가락으로 따라가며 멈추는 부분도 있었습니다. 해설을 확인해야 하는 문제를 준비할 때도 같은 식으로 풀이를 먼저 거슬러 올라갔어요. 계산 옆에 작은 표시를 해 두고 나서야 답지를 펼쳤는데, 이번에는 답지의 풀이와 자기 계산을 바로 대조하지 않고 자신의 과정을 끝까지 살펴본 뒤 비교하더라고요.

★★★★★학부모 후기

학교 숙제를 마친 뒤 노트를 보니, 아이가 적분 그래프에 교점과 구간의 양 끝을 표시해 두었더라고요. 그 옆에는 아직 확인하지 못한 부분도 따로 체크해 놓았어요. 답만 적어둔 게 아니라 어디를 다시 봐야 하는지 눈에 보이게 남겨둔 점이 먼저 들어왔습니다. 수학 노트를 새것으로 바꾼 날에도 비슷한 장면을 보게 됐어요. 공부를 다 끝낸 줄 알았는데 적분 문제의 그래프를 다시 펼쳐 교점과 경계 부분을 짚고 식을 세우고 있었습니다. 예예전에는 다음에 볼 곳을 따로 남기지 않아서 노트를 펼치면 처음부터 훑어야 했거든요. 본리동 수학과외를 찾아보던 때와는 별개로, 집에서 문제를 정리하는 모습 자체가 이렇게 달라진 건 눈에 띄었어요. 그날에는 계산보다 먼저 그래프의 경계가 맞는지 살피고, 빠진 부분에는 작은 표시를 더해 두었습니다. 마지막까지 식만 바라보지 않고 그래프와 적분구간을 함께 확인하고 있더라고요.

★★★★★학부모 후기

처음에는 풀이가 길어지면 질문도 못 한 채 포기하던 아이가 본리동 수학과외를 시작한 뒤 수업에서 틀린 문제를 다시 펼쳐보는 일이 생겼습니다. 선생님께서 학교 과제와 시험 일정을 살펴 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 주시고, 모르는 부분도 편하게 말하도록 기다려 주셨습니다. 요즘은 수업에서 배운 내용을 부모에게 먼저 이야기하고 어려운 문제도 예전처럼 바로 피하지 않습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 일주일 전부터 아이가 수업을 마친 뒤 배운 내용을 다시 펼쳐 보는 모습이 눈에 들어왔습니다. 예전에는 틀린 이유를 묻기보다 정답만 확인하려 했는데, 선생님이 아이 반응에 맞춰 같은 내용도 쉽게 바꿔 설명하고 질문할 내용을 미리 정리하게 해 주셨다고 합니다. 본리동에서 수업을 시작한 뒤 주말 숙제도 전보다 빨리 시작하고, 그날 할 일과 다음에 복습할 내용을 구분하는 습관이 조금씩 생겼습니다.

★★★★★학부모 후기

숙제 검사를 받을 때 모르는 문제를 예전처럼 숨기지 않는 모습을 보며 안심했습니다. 본리동 수학 선생님은 아이가 맞힌 문제도 풀이를 다시 설명하게 하고, 시험 전에는 새 진도보다 부족한 부분을 차분히 복습해 주셨습니다. 틀린 뒤에도 금방 마음을 추스르고 다시 문제를 이어가는 모습이 보기 좋았습니다.

★★★★★학부모 후기