본리동 중1수학과외

조건을 읽고 최대공약수와 최소공배수를 가르는 풀이

이번 학생의 문제도 인수분해 계산 자체보다 최대공약수와 최소공배수 중 무엇을 선택해야 하는지가 핵심이었습니다.

칠판에 남아 있던 첫 식

문제에는 84와 126을 이용해 “두 수로 나누어떨어지는 가장 작은 수”를 구하라고 되어 있었습니다. 학생은 두 수를 바로 소인수분해하지 않고 84×126을 먼저 적은 뒤, “공통으로 들어 있는 수를 찾는 것이니 최대공약수”라고 판단했습니다. 이어서 84를 2²×3×7, 126을 2×3²×7로 나타내고 지수를 비교하려 했지만, 어떤 값을 골라야 하는지 설명하지 못한 채 계산을 멈췄습니다.

풀이가 어긋난 최초의 지점은 곱셈을 시작한 일이 아니라 ‘두 수로 나누어떨어지는 가장 작은 수’라는 조건을 최대공약수의 뜻으로 읽은 것이었습니다. 학생은 ‘공통’이라는 낱말만 보고 최대공약수를 선택했지만, 공약수는 두 수를 나누는 수이고 문제에서 구하는 수는 두 수의 배수였습니다.

조건을 수의 관계로 다시 표시하기

계산을 지우기보다 문제의 핵심 표현에 밑줄을 그었습니다.

• 두 수로 나누어떨어지는 수 → 84와 126의 공배수
• 그중 가장 작은 수 → 최소공배수

그다음 소인수분해를 나란히 적었습니다.

84＝2²×3×7
126＝2×3²×7

두 수의 배수가 되려면 2, 3, 7이 빠짐없이 들어 있어야 합니다. 따라서 각 소인수의 지수 중 큰 것을 선택하여 2²×3²×7을 만들었습니다. 계산하면 4×9×7＝252이므로 최소공배수는 252입니다.

학생이 선택을 확인할 수 있도록 252를 원래 두 수로 나누었습니다. 252÷84＝3, 252÷126＝2로 모두 나누어떨어졌습니다. 반대로 공통 인수에 해당하는 42는 84와 126을 나눌 수 있지만, 문제에서 요구한 ‘두 수로 나누어지는 수’가 아니므로 이 문제의 답이 될 수 없다는 점도 함께 표시했습니다.

문제의 모양이 바뀌어도 같은 판단하기

다음에는 숫자를 단순히 바꾸지 않고 질문의 방향을 바꾸었습니다. “84분마다 울리는 알림과 126분마다 울리는 알림이 오전 9시에 동시에 울렸다. 다시 동시에 울리는 가장 빠른 시각은 언제인가?”라는 문장형 문제를 제시했습니다.

학생은 먼저 표를 만들었습니다.

알림	몇 분 뒤
첫 번째	84의 배수
두 번째	126의 배수

그리고 ‘다시 동시에’라는 말은 두 배수 목록에서 처음 겹치는 값을 찾는다는 뜻이라고 적었습니다. 84와 126을 다시 소인수분해한 뒤 각 소인수의 지수를 큰 쪽으로 맞추어 252분을 얻었습니다. 252분은 4시간 12분이므로 오전 9시에서 4시간 12분 뒤인 오후 1시 12분이라고 답했습니다. 이번에는 생활 상황 속 문장을 공배수 조건으로 바꾸어 불필요하게 최대공약수를 후보에 넣지 않았습니다.

힌트 없이 이루어진 재현

검증 문제에서는 “두 리본 72cm와 120cm를 남김없이 똑같은 길이로 자를 때, 자를 수 있는 가장 긴 한 조각의 길이”를 물었습니다. 학생은 ‘가장 긴 한 조각’과 ‘두 길이를 남김없이 나눈다’를 읽고 이번에는 최대공약수를 선택했습니다.

72＝2³×3², 120＝2³×3×5라고 직접 정리한 뒤, 공통으로 포함된 소인수만 골라 2³×3＝24를 구했습니다. 이어 72÷24＝3, 120÷24＝5를 계산해 두 길이가 모두 24cm 조각으로 나누어지는지 확인했습니다. 학생은 “나누어지는 수를 구하면 공약수, 두 수로 나누어지는 수를 구하면 공배수이며, 가장 작거나 큰지에 따라 선택이 달라진다”고 설명했습니다.

두 수를 소인수분해하기 전에 ‘구하는 수가 두 수를 나누는가, 두 수가 그 수를 나누는가’를 먼저 읽는다.

본리동과외 수업에서 이 학생은 계산 결과만 적지 않고 조건을 공약수 또는 공배수의 관계로 바꾼 뒤 선택 근거를 한 줄로 남겼습니다. 이후 본리동중1수학과외 풀이에서도 소인수와 지수의 크기를 확인하고, 구한 값을 원래 조건에 다시 넣어 검산하는 순서를 스스로 재현했습니다.