오륜동 고등수학과외
오륜동 고등수학과외에서는 대칭이동을 그림의 방향만 보고 판단하지 않고, 점의 좌표가 어떻게 바뀌는지부터 확인한다. 부산과학고등학교와 남산고등학교 학생의 풀이를 살펴보며, 생활권에서는 럭키남산아파트와 부산광역시립서동도서관 주변에서 자주 접하는 내신형 서술 문제를 예로 삼았다. 이번 수업의 중심은 함수 \(y=\frac{14}{x-2}\)의 대칭이동 전후 좌표 대응이었다.
식보다 먼저 점의 이동을 적다
학생은 처음에 원래 그래프의 점을 \((x,y)\)라고 두고, 대칭축이 \(y=x\)라는 조건을 확인했다. 이 경우 대응점은 \((y,x)\)가 된다. 보조선을 그어 원점에서 그래프까지의 위치를 비교하는 것까지는 정확했다. 특히 원래 함수의 그래프가 \(x=2\)를 기준으로 나뉘고, \(y=0\)을 넘지 않는다는 점도 사분면 표시로 구분했다.
문제는 좌표 대응을 식으로 옮기는 순간 생겼다. 학생은 원래 식에 \(x\)와 \(y\)를 단순히 바꾼 뒤에도 변환된 점의 조건을 따로 정리하지 않고, 대칭 후 그래프를 그대로 \(y=\frac{14}{x-2}\)라고 적었다. 대칭이동한 식과 원래 식을 혼동한 것이다. 이 함수는 \(x=2\)에서 정의되지 않으며 치역에서 \(y=0\)이 제외되지만, 대칭 후에는 이 두 조건의 자리가 달라진다.
첫 오류를 좌표 한 쌍으로 고치기
원래 그래프 위의 점을 \((u,v)\)라 하면 \(v=\frac{14}{u-2}\)이다. \(y=x\)에 대한 대칭 후 점은 \((v,u)\)이므로 새 그래프의 좌표를 \((x,y)\)로 다시 쓰면 \(x=v,\ y=u\)이다. 따라서
\(x=\frac{14}{y-2}\)
이고, 이를 \(y\)에 관해 정리하면 \(y=2+\frac{14}{x}\)가 된다. 여기서 새 정의역은 \(x\ne0\), 새 치역은 \(y\ne2\)이다. 학생에게는 식만 고치게 하지 않고 \((4,7)\)을 직접 대입하게 했다. 원래 식에서 \(x=4\)이면 \(y=7\)이고, 대칭 후 점은 \((7,4)\)이다. 수정한 식에 \(x=7\)을 넣으면 \(y=4\)가 되어 좌표 대응이 맞는지 바로 확인된다.
대칭축이 \(y=x\)이면 식의 문자만 바꾸는 데서 끝내지 말고, 바뀐 좌표를 새 변수로 다시 읽는다.
조건을 바꾼 문제에서 혼자 적용하기
다음에는 같은 식을 반복하지 않고 정의역 조건을 바꾸었다. \(x>2\)인 부분만 남긴 \(y=\frac{14}{x-2}\)를 \(y=x\)에 대칭시킨 뒤 새 그래프의 조건을 구하게 했다. 원래 점에서는 \(u>2\)이고 \(v=\frac{14}{u-2}>0\)이다. 대칭 후에는 \((v,u)\)가 되므로 새 좌표는 \(x>0,\ y>2\)를 만족한다.
학생은 처음에는 점근선만 옮겨 \(x=0,\ y=2\)라고 쓰고 조건을 빠뜨렸다. 그러나 기준점 \((4,7)\), \((9,\frac{14}{7}+2)\)가 아니라 원래 식의 점 \((4,7)\), \((6,\frac{7}{2})\)를 골라 각각 \((7,4)\), \((\frac{7}{2},6)\)으로 뒤집어 보면서 두 점 모두 \(x>0,\ y>2\)에 놓인다는 사실을 스스로 확인했다. 단순한 모양 암기가 조건 판단으로 연결된 장면이었다.
마지막에는 원식으로 되돌려 검산한다
수정한 식 \(y=2+\frac{14}{x}\)에서 임의의 \(x=7\)을 택하면 \(y=4\)가 나온다. 이 점을 다시 대칭시키면 \((4,7)\)이고, 원래 식에 \(x=4\)를 넣었을 때 실제로 \(y=7\)이 된다. 또한 원래 그래프의 수직점근선 \(x=2\)는 대칭 후 수평점근선 \(y=2\)가 되고, 원래의 수평점근선 \(y=0\)은 \(x=0\)으로 바뀐다. 점 하나의 재대입과 점근선의 교환이 함께 맞아야 답을 확정할 수 있다.
자주 묻는 내용
대칭축이 표시되지 않으면 어떻게 하나요?
축을 임의로 정하지 않는다. \(y=x\), \(x\)축, \(y\)축은 좌표 대응이 각각 다르므로 문제의 조건을 먼저 확인해야 한다.
문자를 바꾸면 항상 대칭이동인가요?
\(y=x\) 대칭에서는 \(x,y\)를 서로 바꾸는 방식이 쓰이지만, 함수가 역함수를 갖는지와 정의역 조건도 함께 확인해야 한다.
왜 정의역을 다시 보나요?
원래 식의 \(x\ne2\), \(y\ne0\) 조건은 대칭 후 각각 \(y\ne2\), \(x\ne0\)으로 자리를 바꾼다.
그래프가 비슷하면 맞는 답인가요?
모양만으로 확정하지 않는다. 원래 점과 대칭 후 점의 좌표를 서로 바꾸고, 변환식과 원식에 재대입해야 한다.
학생이 자주 놓치는 부분은 무엇인가요?
점근선은 옮겼지만 제한된 구간의 부등식까지 옮기지 않는 경우가 많다. 점의 좌표와 구간 조건을 함께 변환해야 한다.