오륜동 중3수학과외

오륜동 중3수학과외에서 살펴본 다항식 정리의 한 장면

오륜동과외 수업에서 채점 직후 한 학생의 풀이를 확인했습니다. 오륜동중3수학과외에서 다룬 내용은 여러 단원을 넓게 훑는 것이 아니라, 다항식을 곱한 뒤 같은 종류의 항을 모아 하나의 표현으로 바꾸는 과정에 한정했습니다.

나란히 놓인 두 식에서 보인 기록

문제는 다음과 같았습니다.

(x+3)(2x-5)+x(4-x)를 전개하여 동류항을 정리하시오.

학생은 첫 번째 곱을 2x²-5x+6x-15로 적었습니다. 여기까지는 각 항을 빠짐없이 곱한 기록이 남아 있었습니다. 이어서 x(4-x)를 4x-x²로 계산한 뒤, 전체를

2x²-5x+6x-15+4x-x²

로 옮겨 적었습니다. 그런데 다음 줄에서 x²항을 2x²와 -x²로 묶지 않고, 2x²-x²를 빠뜨린 채 5x-15라고 답했습니다.

채점 직후에는 맞은 부분과 틀린 부분을 두 표현 옆에 나란히 표시했습니다.

• 곱해져야 하는 항: (x+3)의 x와 3, (2x-5)의 2x와 -5
• 계수와 부호: -5x, +6x, +4x, -x²
• 같은 종류인지 확인할 대상: x²끼리, x끼리, 상수항끼리

처음 어긋난 판단은 계산 도중의 곱셈이 아니었습니다. 전개된 식을 정리하는 순간, 항의 종류를 확인하지 않고 눈에 익은 x항만 먼저 모은 것이 최초 오류였습니다. 2x²와 -x²도 같은 종류의 항인데, 학생은 이를 확인하지 않은 채 식을 끝냈습니다.

한 가지만 바꿔 다시 적기

교정에서는 풀이 전체를 다시 배우게 하지 않았습니다. 이미 맞게 계산한 전개는 그대로 두고, 정리하기 직전에 항별로 줄을 나누는 행동 하나만 바꾸었습니다.

2x²-5x+6x-15+4x-x²

를 다음처럼 표시했습니다.

• x²항: 2x²-x² = x²
• x항: -5x+6x+4x = 5x
• 상수항: -15

따라서 결과는 x²+5x-15입니다. 이때 중요한 것은 항을 새로 만들어 내는 것이 아니라, 이미 전개한 식에서 같은 종류끼리만 묶어 남기는 것입니다. 학생은 부호를 다시 전부 계산하지 않고, 자신이 적어 둔 전개식을 기준으로 종류별 묶음만 표시했습니다.

모양이 달라진 식에 적용하기

다음 연습에서는 앞의 식과 배열을 다르게 제시했습니다.

-(3-x)(x+2)+2x(x-1)을 전개하고 동류항을 정리하시오.

이번에는 괄호 앞의 음수와 두 번째 곱의 위치가 달랐습니다. 학생은 먼저 (3-x)(x+2)를 3x+6-x²-2x로 적고, 그 전체에 음수를 붙여 -3x-6+x²+2x로 바꾸었습니다. 이어 2x(x-1)을 2x²-2x로 전개했습니다.

전개한 식은

-3x-6+x²+2x+2x²-2x

가 되었습니다. 학생은 이번에는 x²항, x항, 상수항을 색깔 대신 괄호로 나누어

• x²항: x²+2x²
• x항: -3x+2x-2x
• 상수항: -6

으로 확인했습니다. 그래서 3x²-3x-6을 얻었습니다. 앞 문제의 항 배열을 외워 옮긴 것이 아니라, 새로운 식에서도 각 항이 무엇과 같은 종류인지 다시 판단한 것입니다.

힌트 없이 확인한 마지막 풀이

며칠 뒤에는 풀이 방법이나 묶음 표시를 먼저 알려 주지 않고 다음 문제를 제시했습니다.

(2-x)(x-4)-3x(x+1)을 전개하여 동류항을 정리하고, 전개 전후의 값을 x=2에서 비교하시오.

학생은 먼저 첫 곱을 2x-8-x²+4x, 두 번째 곱을 -3x²-3x로 적었습니다. 이어 식을

2x-8-x²+4x-3x²-3x

로 모은 뒤, x²항은 -x²-3x², x항은 2x+4x-3x, 상수항은 -8이라고 설명했습니다. 따라서 답은 -4x²+3x-8입니다.

검산에서도 도움을 주지 않았습니다. 전개 전 식에 x=2를 대입하면 (2-2)(2-4)-3·2·(2+1)=-18입니다. 정리한 식에 대입해도 -4·2²+3·2-8=-18입니다. 학생은 “전개 전후의 값이 같으므로 곱셈과 동류항 정리에서 항이나 부호를 빠뜨리지 않았다”고 직접 말했습니다. 새로운 표현에서도 같은 종류의 항만 모으고, 두 식의 값을 비교해 자신의 변형을 확인했습니다.