오륜동 고2수학과외







끝항에서 멈춘 풀이, 어디서 틀렸을까
학생의 기록에는 다음 풀이가 남아 있었다.
첫째항이 4이고 공차가 3인 등차수열의 첫 10항의 합을 구하시오.
처음 풀이
a10=4+10×3=34
S10=10(4+34)÷2=190
합까지 계산한 방식은 맞아 보이지만, 끝항을 구하는 식에서 n-1 대신 n을 사용했다. 실제 끝항은 첫째항에서 공차를 9번 더한 값이다.
공식이 작동하는 두 단계
등차수열의 일반항은
an=a1+(n-1)d
이므로
a10=4+(10-1)×3=31
이제 끝항을 합 공식에 넣는다.
S10=n(a1+an)÷2
=10(4+31)÷2=175
따라서 정답은 175이다. 첫째항은 이미 1번째 항이므로 공차를 더하는 횟수는 항상 n-1이다.
합과 공차가 주어졌을 때 항의 개수 찾기
이번에는 끝항을 먼저 알 수 없는 문제를 보자.
첫째항이 5, 공차가 2인 등차수열의 합이 180일 때 항의 개수 n을 구하시오.
합 공식에 일반항을 바로 대입하면
180=n{2×5+(n-1)×2}÷2
180=n(n+4)
n²+4n-180=0
(n-10)(n+18)=0
항의 개수는 음수가 될 수 없으므로 n=10이다.
조건을 확인하는 습관
실제로 a10=5+9×2=23이고,
S10=10(5+23)÷2=140
이 계산은 180과 일치하지 않는다. 따라서 위 식의 전개를 다시 확인해야 한다.
2×5+(n-1)×2=10+2n-2=2n+8
Sn=n(2n+8)÷2=n(n+4)
n(n+4)=180에서 n=12가 맞다. 검산하면 a12=5+11×2=27,
S12=12(5+27)÷2=192
여전히 맞지 않으므로 주어진 합 180에는 자연수 해가 없다. 이처럼 방정식의 근만 보지 말고 원래 합 공식에 대입해 확인해야 한다.
기호가 바뀌어도 같은 오류를 찾기
첫째항이 p, 공차가 q, 항의 개수가 m인 등차수열의 합은
Sm=m{2p+(m-1)q}÷2
끝항을 p+mq라고 쓴 풀이는 잘못되었다. 올바른 끝항은 p+(m-1)q이다.
예를 들어 p=7, q=4, m=6이면 끝항은 7+5×4=27이고 합은 6(7+27)÷2=102이다.
부산과외에서 이 유형을 다룰 때도 끝항 계산과 합 계산을 분리하면 n-1 누락을 빠르게 찾아낼 수 있다.