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오륜동 고2수학과외

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끝항에서 멈춘 풀이, 어디서 틀렸을까

학생의 기록에는 다음 풀이가 남아 있었다.

첫째항이 4이고 공차가 3인 등차수열의 첫 10항의 합을 구하시오.

처음 풀이

a10=4+10×3=34

S10=10(4+34)÷2=190

합까지 계산한 방식은 맞아 보이지만, 끝항을 구하는 식에서 n-1 대신 n을 사용했다. 실제 끝항은 첫째항에서 공차를 9번 더한 값이다.

공식이 작동하는 두 단계

등차수열의 일반항은

an=a1+(n-1)d

이므로

a10=4+(10-1)×3=31

이제 끝항을 합 공식에 넣는다.

S10=n(a1+an)÷2

=10(4+31)÷2=175

따라서 정답은 175이다. 첫째항은 이미 1번째 항이므로 공차를 더하는 횟수는 항상 n-1이다.

합과 공차가 주어졌을 때 항의 개수 찾기

이번에는 끝항을 먼저 알 수 없는 문제를 보자.

첫째항이 5, 공차가 2인 등차수열의 합이 180일 때 항의 개수 n을 구하시오.

합 공식에 일반항을 바로 대입하면

180=n{2×5+(n-1)×2}÷2

180=n(n+4)

n²+4n-180=0

(n-10)(n+18)=0

항의 개수는 음수가 될 수 없으므로 n=10이다.

조건을 확인하는 습관

실제로 a10=5+9×2=23이고,

S10=10(5+23)÷2=140

이 계산은 180과 일치하지 않는다. 따라서 위 식의 전개를 다시 확인해야 한다.

2×5+(n-1)×2=10+2n-2=2n+8

Sn=n(2n+8)÷2=n(n+4)

n(n+4)=180에서 n=12가 맞다. 검산하면 a12=5+11×2=27,

S12=12(5+27)÷2=192

여전히 맞지 않으므로 주어진 합 180에는 자연수 해가 없다. 이처럼 방정식의 근만 보지 말고 원래 합 공식에 대입해 확인해야 한다.

기호가 바뀌어도 같은 오류를 찾기

첫째항이 p, 공차가 q, 항의 개수가 m인 등차수열의 합은

Sm=m{2p+(m-1)q}÷2

끝항을 p+mq라고 쓴 풀이는 잘못되었다. 올바른 끝항은 p+(m-1)q이다.

예를 들어 p=7, q=4, m=6이면 끝항은 7+5×4=27이고 합은 6(7+27)÷2=102이다.

부산과외에서 이 유형을 다룰 때도 끝항 계산과 합 계산을 분리하면 n-1 누락을 빠르게 찾아낼 수 있다.

오륜동 고2수학과외 학부모 후기

문제집 해설지를 정리하다가 아이 수학 노트를 펼쳐 보게 됐어요. 한 페이지를 통째로 다시 풀겠다는 식이 아니라, 계산이 멈춘 지점에 짧게 선을 긋고 그 옆에 이유를 한 줄로 적어 두었더라고요. 예예전에는 복습할 때 어디부터 손대야 할지 정하지 않은 채 문제 전체를 다시 훑는 경우가 많았거든요. 오륜동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 노트 정리 방식이 눈에 들어왔는데, 단순히 답을 옮겨 적은 흔적과는 달랐어요. 무엇을 처음 판단했고 어느 부분을 다시 확인할지 나뉘어 있어서 제가 봐도 흐름이 보였습니다. 새 문제집을 풀 때도 같은 모습이 나왔어요. 페이지를 넘기다가 멈춘 곳에서 노트에 계산 한 줄을 따로 적고, 왜 다시 살펴보는지 짧게 덧붙여 놓았더라고요. 이번에는 처음 생각한 부분과 고쳐 본 부분이 한눈에 구분돼 있었습니다.

★★★★☆학부모 후기

빈칸 문제를 풀고 있길래 지나가며 봤는데, 계산부터 하지 않고 조건 문장에 먼저 표시를 해두더라고요. 그 부분을 잠깐 다시 읽은 뒤 필요한 풀이만 이어 갔어요. 다른 내용까지 괜히 넓혀 보지 않는 모습이 눈에 띄었습니다. 오륜동 수학과외를 알아보던 때부터 이런 장면을 유심히 보게 됐는데, 시험지를 파일에 넣던 날에는 더 분명했어요. 제가 먼저 말을 꺼내기도 전에 아이가 시험지에서 조건에만 동그라미를 치고, 그 조건을 다시 읽은 다음 풀이를 처음부터 살펴보기 시작했거든요. 예예전에는 공부를 마쳐도 다음에 확인할 흔적을 따로 남기지 않았는데, 이번에는 필요한 부분을 표시해 둔 채 자기 풀이를 다시 따라가고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

저녁에 프린트를 챙기다가 방에 잠깐 들렀는데, 아이가 문제집 뒤쪽에 계산하다 자주 틀리는 부분을 짧은 문장으로 적어 둔 게 보이더라고요. 길게 정리한 건 아니고, 본인이 반복해서 헷갈리는 계산 습관만 몇 마디로 남겨 놓았더라고요. 예예전에는 다시 봐야 할 부분이 생겨도 그날 바로 적어 두는 모습은 없었거든요. 오륜동 수학과외에 대해 이야기를 나누던 때와는 별개로, 이런 작은 흔적이 눈에 들어와서 잠시 봤습니다. 수학 발표를 준비하던 날에도 문제를 풀다가 같은 방식으로 반복되는 계산 실수를 짧게 적어 두었어요. 이번에는 확인한 내용과 아직 남아 있는 부분을 서로 다르게 표시해 놓아서, 어디까지 봤는지가 한눈에 구분됐습니다.

★★★★★학부모 후기

처음에는 수업 전부터 긴장해서 모르는 문제를 물어보는 것도 망설였지만, 오륜동에서 만난 선생님은 답을 재촉하기보다 무엇이 궁금했는지 먼저 들어주셨습니다. 숙제와 시험 전 복습도 이해한 정도에 맞춰 함께 정하고, 양이 부담스러울 때는 편하게 말할 수 있게 해주셨습니다. 요즘은 틀린 문제를 그대로 지나치지 않고 스스로 다시 살펴보려는 모습이 보여 좋게 느껴집니다.

★★★★★학부모 후기

오륜동에서 수학 과외를 시작한 뒤 두세 번 수업을 지켜보니, 아이가 예전처럼 정해 둔 분량 없이 책상에 앉아 있지는 않았습니다. 선생님은 모르는 문제를 말할 때도 부담 없도록 천천히 질문을 이어 가며 아이의 속도에 맞췄고, 수업 전 복습할 내용과 할 일을 함께 정해 주셨습니다. 어느 날은 다음 수업을 기다리며 스스로 복습하는 모습도 보여, 질문할 때 눈치를 덜 보는 변화가 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

예전에는 평일에 집에 와서 숙제를 시작해도 한 문제에서 막히면 금방 지치고 답만 확인하려 했습니다. 오륜동 수업을 들으며 다음 시간에 물어볼 문제를 스스로 표시하고, 시험 기간에는 풀이 과정을 먼저 말해 보면서 막힌 부분을 차분히 찾게 됐습니다. 요즘은 공부할 분량을 확인한 뒤 시작하는 모습이 자연스러워져 성적보다 그 변화가 더 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기