오륜동 고1수학과외







오륜동 고1수학과외, 치환 인수분해에서 부호를 놓친 순간
학생은 \(x^4-5x^2+4\)를 보자마자 \(x^2\)를 새로운 문자로 바꾸지 않고 네 항짜리 식처럼 정리하려 했다. 계산을 빠르게 이어 가는 동안 가운데 항의 부호가 흔들리면서 \((x^2+1)(x^2+4)\)라는 결과를 적었다.
중간식의 부호가 바뀐 지점
이 식은 \(t=x^2\)로 두면 \(t^2-5t+4\)가 된다. 학생은 두 수의 곱이 \(4\), 합이 \(-5\)라는 조건에서 두 수를 모두 양수로 잡았다. 따라서 인수분해의 핵심을 몰랐다기보다, 가운데 계수의 음수를 두 인수에 반영하지 못한 것이 최초 오류였다.
곱은 양수이고 합은 음수이므로 두 수는 모두 음수이다.
이 한 문장을 식 옆에 적은 뒤 부호만 따로 표시하게 했다. 그러면 \(t^2-5t+4=(t-1)(t-4)\)가 되고, \(t=x^2\)를 되돌려 \((x^2-1)(x^2-4)\)를 얻는다.
문자 역할을 바꾼 적용
이후에는 \(y^4-13y^2+36\)을 제시하고, 이번에는 치환 문자를 직접 정하도록 했다. \(u=y^2\)로 두면 \(u^2-13u+36=(u-4)(u-9)\)이므로 결과는 \((y^2-4)(y^2-9)\)이다. 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 치환 문자의 이름과 식의 표현을 학생이 먼저 결정하게 하자 부호 판단을 중간에 분리할 수 있었다.
- 곱이 \(36\)
- 합이 \(-13\)
- 따라서 두 수는 \(-4,-9\)
처음 보는 식에서의 확인
마지막으로 \(z^4-10z^2+9\)를 인수분해한 뒤, 얻은 인수에 \(z=1\)을 넣어 식이 0이 되는지 확인했다. 원식도 \(1-10+9=0\)이고 \((z^2-1)(z^2-9)\) 역시 0이므로, 치환 뒤 되돌린 인수의 부호가 맞는지 스스로 판정할 수 있었다.
오륜동 생활권에서 수업한 이 사례의 변화는 풀이 속도가 아니라 중간식의 부호를 근거와 함께 남긴 데 있었다.