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오륜동 고1수학과외

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오륜동 고1수학과외, 치환 인수분해에서 부호를 놓친 순간

학생은 \(x^4-5x^2+4\)를 보자마자 \(x^2\)를 새로운 문자로 바꾸지 않고 네 항짜리 식처럼 정리하려 했다. 계산을 빠르게 이어 가는 동안 가운데 항의 부호가 흔들리면서 \((x^2+1)(x^2+4)\)라는 결과를 적었다.

중간식의 부호가 바뀐 지점

이 식은 \(t=x^2\)로 두면 \(t^2-5t+4\)가 된다. 학생은 두 수의 곱이 \(4\), 합이 \(-5\)라는 조건에서 두 수를 모두 양수로 잡았다. 따라서 인수분해의 핵심을 몰랐다기보다, 가운데 계수의 음수를 두 인수에 반영하지 못한 것이 최초 오류였다.

곱은 양수이고 합은 음수이므로 두 수는 모두 음수이다.

이 한 문장을 식 옆에 적은 뒤 부호만 따로 표시하게 했다. 그러면 \(t^2-5t+4=(t-1)(t-4)\)가 되고, \(t=x^2\)를 되돌려 \((x^2-1)(x^2-4)\)를 얻는다.

문자 역할을 바꾼 적용

이후에는 \(y^4-13y^2+36\)을 제시하고, 이번에는 치환 문자를 직접 정하도록 했다. \(u=y^2\)로 두면 \(u^2-13u+36=(u-4)(u-9)\)이므로 결과는 \((y^2-4)(y^2-9)\)이다. 단순히 숫자만 바꾼 것이 아니라, 치환 문자의 이름과 식의 표현을 학생이 먼저 결정하게 하자 부호 판단을 중간에 분리할 수 있었다.

  • 곱이 \(36\)
  • 합이 \(-13\)
  • 따라서 두 수는 \(-4,-9\)

처음 보는 식에서의 확인

마지막으로 \(z^4-10z^2+9\)를 인수분해한 뒤, 얻은 인수에 \(z=1\)을 넣어 식이 0이 되는지 확인했다. 원식도 \(1-10+9=0\)이고 \((z^2-1)(z^2-9)\) 역시 0이므로, 치환 뒤 되돌린 인수의 부호가 맞는지 스스로 판정할 수 있었다.

오륜동 생활권에서 수업한 이 사례의 변화는 풀이 속도가 아니라 중간식의 부호를 근거와 함께 남긴 데 있었다.

오륜동 고1수학과외 학부모 후기

서술형 숙제를 하던 밤, 아이가 문제 속 숫자 몇 개를 손으로 가린 뒤 다시 풀이를 이어 가고 있더라고요. 다 풀고 나서는 확인한 부분 옆에 짧게 표시만 해두었어요. 답을 외워서 적는 모습과는 조금 달라 보여서 잠시 바라봤습니다. 월요일 아침 가방을 챙기다 책상이 어수선해 잠깐 정리하려는데, 전에 풀었던 문제 하나를 숫자만 가린 채 다시 계산하고 있더라고요. 예전에는 틀린 곳을 찾아도 그 줄만 보고 지나가는 경우가 많았거든요. 그런데 이번에는 앞뒤 과정을 함께 살펴보면서 같은 판단으로 풀리는지 확인하더라고요. 오륜동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 장면을 보게 될 줄은 몰랐는데, 문제의 숫자가 달라져도 풀이가 이어지는지 직접 확인하는 모습이 눈에 들어왔어요. 마지막에는 답을 먼저 찾지 않고, 본인이 점검한 지점만 작게 남겨두었습니다.

★★★★★학부모 후기

수학 교재를 가방에 넣기 전, 아이가 문제집 맨 뒤쪽을 잠시 들여다보더라고요. 반복해서 틀리는 계산 실수를 짧은 문장으로 적어 두고, 다음에 확인할 부분을 따로 남겨 둔 모습이었어요. 오륜동 수학과외 관련 자료를 출력해 둔 날이라 주변을 정리하다가 그 장면을 처음 봤습니다. 그예전에는 다시 펼쳐 볼 때 특정한 부분을 골라 보기보다 문제집 내용을 전체적으로 비슷하게 확인했거든요. 그런데 이번에는 자주 틀리는 계산 습관만 골라 뒤쪽에 적어 두었어요. 수업 자료를 정리할 때도 같은 식으로 반복되는 실수를 짧게 기록해 두어서, 무엇을 먼저 살펴볼지 바로 보였습니다.

★★★★★학부모 후기

처음에는 낯을 가려 수업 중에도 이해했다며 넘어가기 일쑤였는데, 오륜동에서 수학 과외를 시작한 뒤 두세 번 지나자 모르는 부분을 먼저 말하기 시작했습니다. 선생님은 숙제와 복습을 챙길 때 답을 바로 알려주지 않고 어디까지 아는지 물은 뒤, 그날 할 일과 다음에 확인할 내용을 나눠 주셨습니다. 시험기간에도 틀린 문제를 그대로 지나치지 않고 다시 살펴보는 모습이 보여 조금씩 달라지고 있음을 느꼈습니다.

★★★★★학부모 후기

학기 중간부터 오륜동 수학과외를 시작하며 아이가 수업 일정에 적응하는 모습을 지켜봤습니다. 평소 한 문제에 오래 머물러 질문을 준비하지 않았는데, 선생님은 시험 부담을 살피며 어려운 문제 뒤에 풀 수 있는 문제를 섞고 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 주셨습니다. 수업 후에는 스스로 해냈다며 말하는 날이 조금씩 늘었습니다.

★★★★★학부모 후기

오륜동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 숙제를 펼치는 모습부터 조금 달라졌습니다. 예전에는 시작을 미루다 한꺼번에 하곤 했는데, 선생님이 컨디션이 좋지 않은 날에는 문제 수를 줄이고 핵심만 짚어 주셔서 부담이 덜해 보였습니다. 풀이를 지우지 않고 다시 살펴보며 모르는 부분은 선생님께 편하게 설명을 부탁하는 모습이 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기