풍암지구 중등수학과외

풍암지구중등수학과외, 이등변삼각형 59°의 근거를 조건 삭제로 확인하기

이등변삼각형 ABC에서 AB=AC, ∠A=62°일 때 나머지 두 각을 구하는 문제를 생각해 보겠습니다. 답은 ∠B=59°, ∠C=59°입니다. 다만 정답을 맞혔다고 해서 풀이가 끝나는 것은 아닙니다. 그림에서 양쪽이 비슷하게 보이기 때문에 두 밑각이 같다고 쓴 것인지, 아니면 AB=AC라는 조건을 근거로 쓴 것인지에 따라 증명의 내용은 달라집니다.

AB=AC가 왜 밑각의 근거가 되는가

먼저 문제에서 주어진 AB=AC에 밑줄을 긋고, 이 기호가 두 변의 길이가 같다는 뜻임을 적습니다. 삼각형에서 두 변의 길이가 같으면 그 두 변의 맞은편 각의 크기도 같습니다. AB의 맞은편은 ∠C이고, AC의 맞은편은 ∠B이므로 ∠B=∠C가 됩니다. 이것이 ‘밑각이 같다’는 결론의 근거입니다. 그림의 모양은 보조 자료일 뿐, 각의 크기가 같다는 증명 자체가 되지는 않습니다.

조건·근거·결론을 나누어 쓰면 흐름이 선명해집니다. 조건에는 ‘AB=AC’, 근거에는 ‘이등변삼각형의 두 밑각은 같다’, 결론에는 ‘∠B=∠C’를 둡니다. 이어 삼각형의 내각의 합이 180°이므로 ∠B+∠C=180°-62°=118°입니다. 두 각이 같으므로 118°를 둘로 나누어 ∠B=∠C=59°를 얻습니다. 59°+59°+62°=180°인지 다시 더해 보면 내각의 합에도 맞습니다.

맞은 답에 붙이는 짧은 증명 문장

설명이 충분한지 볼 때 긴 문장을 외우게 할 필요는 없습니다. ‘AB=AC이므로 그 맞은편 각인 ∠B와 ∠C가 같다. 두 각의 합은 118°이므로 각각 59°이다’처럼 조건과 성질이 연결되면 됩니다. 풀이에 곧바로 180°-62°를 계산한 뒤 2로 나누기만 했다면, 계산은 맞아도 왜 2로 나누는지가 빠질 수 있습니다. 이때 “밑각이 같다는 근거는 어느 조건인가?”라는 질문으로 AB=AC를 다시 가리키게 합니다.

말로 바로 설명하기 어려운 경우에는 AB와 AC에 같은 표시를 하고, ∠B와 ∠C에 같은 호를 그린 뒤 화살표로 연결해도 좋습니다. 또는 ‘AB=AC → ∠B=∠C’라는 식으로 적을 수 있습니다. 한 번의 짧은 답만으로 이해 여부를 단정하기보다, 말·그림·기호 중 어느 방식으로 조건과 결론을 연결하는지 살펴보는 것이 적절합니다.

조건을 지운 그림에서 결론을 멈추는 판단

비교 문제에서는 ‘이등변삼각형’이라는 설명과 AB=AC 표시, 두 변이 같음을 나타내는 눈금을 모두 없앱니다. 꼭짓점 이름과 ∠A의 크기만 주어지고, 그림의 모양은 길이나 각의 같음을 보장하지 않는다고 가정합니다.

다음에는 AB=AC라는 문장을 삭제하고 그림만 그대로 둡니다. 이때 그림의 두 변이 비슷해 보인다는 이유만으로 ∠B=∠C 또는 각각 59°라고 확정할 수는 없습니다. 앞 문제의 59°는 꼭짓각 62°만으로 나온 수가 아니라, AB=AC 때문에 나머지 두 각이 같다는 조건까지 함께 사용해 나온 값이기 때문입니다. 삭제된 문제에서는 ∠B+∠C=118°까지만 알 수 있고, 두 각이 같다는 근거가 없으므로 각각의 크기는 정할 수 없습니다.

독립적으로 확인할 때는 먼저 조건란에 남아 있는 것이 ∠A=62°뿐인지 적고, ‘∠B+∠C=118°’ 다음에 ‘∠B=∠C’라고 쓸 수 있는 근거가 있는지 점검합니다. 근거가 없다는 것을 찾아 결론을 보류하는 판단이 이 과제의 정답입니다. 이후에는 기본 문제에서 AB=AC와 밑각의 관계를 풀이 기록으로 설명하고, 조건을 지운 문제에서는 같은 결론을 쓰지 않는지 확인합니다. 두 과제에서 계산 결과뿐 아니라 사용한 조건을 스스로 표시할 수 있을 때 다음 증명 학습으로 이어갈 수 있습니다.